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이등변삼각형

기하학에서, 이등변 삼각형(二等邊三角形, 영어: isosceles triangle)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 수선중선, 내각의 이등분선의 길이는 각각 같다. 이들의 역 또한 모두 성립한다. 예를 들어, 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다.

목차

정의편집

삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(等邊, 영어: leg)이라고 하고, 남은 한 변을 밑변(-邊, 영어: base)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각꼭지각(-角, 영어: vertex angle)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 밑각(-角, 영어: base angle)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 예각 이등변 삼각형, 직각 이등변 삼각형, 둔각 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.

성질편집

밑변이  인 이등변 삼각형  의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.

  • 꼭지각  이등분선
  • 밑변  수직 이등분선
  • 꼭짓점  를 지나는 중선
  • 꼭짓점  에서 밑변  에 내린 수선

정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다.

증명:

 
이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.

 의 이등분선    에서 만난다고 하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히,  이며, 또한

 

이다. 즉,  는 변  의 수직 이등분선이며, 따라서  는 삼각형  의 중선이자 변  의 수선이다.

삼각형  의 밑변의 길이가  라고 하고 두 등변의 길이가  라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는

 

이다.[1]:71, §2D

밑각편집

삼각형  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:7, §1B; 10, Exercise 1B.1

  •  
  •  

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.

증명:

 
증명 도해

우선  가 성립한다고 가정하자. 각  의 이등분선  가 변   에서 만난다고 하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   SAS 합동에 따라 합동이다. 특히,  가 성립한다.

이제  가 성립한다고 가정하자. 각  의 이등분선  가 변   에서 만난다고 하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   AAS 합동에 따라 합동이다. 특히,  가 성립한다.

증명:[1]:10, §1B

우선  가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

이제  가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

높이편집

삼각형  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E

  •  
  •  를 지나는  의 수선    에서 만난다고 하고, 점  를 지나는  의 수선    에서 만난다고 할 때,  이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선  가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

이제  가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

중선편집

삼각형  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8

  •  
  •  중점 라고 하고, 변  의 중점이  라고 할 때,  이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선  가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

 
 
 

이므로, 삼각형   는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

이제  가 성립한다고 가정하자.   의 교점이  라고 하자. 그렇다면  는 삼각형  무게 중심이므로,  이고  이다. 따라서

 
 
 

이므로, 삼각형   는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  이다. 따라서

 
 
 

이므로, 삼각형   는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히,  가 성립한다.

각의 이등분선편집

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21

  •  
  •  이등분선    에서 만난다고 하고, 각  의 이등분선    에서 만난다고 할 때,  이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

각의 이등분선의 길이는

 
 

이다. 따라서 만약  라면  이고, 만약  라면  이고, 만약  라면  이다.

각주편집

  1. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 

외부 링크편집