오일러 직선

기하학에서 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 정삼각형이 아닌 삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 지나는 직선이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다.

오일러선 (붉은색)은 무게중심 (주황색), 수심 (푸른색), 외심 (초록색)과 구점원의 중심 (붉은색)을 한 직선으로 이어준다.

정의

삼각형 $ABC$의 외심 $O$, 무게 중심 $G$, 구점원의 중심 $N$, 수심 $H$는 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 $ABC$가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 $ABC$의 오일러 직선이라고 한다. 삼각형 $ABC$가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 오일러 직선은 정의되지 않는다.

나겔 직선

삼각형 $ABC$의 내심 $I$, 무게 중심 $G$, 슈피커 중심 $S$, 나겔 점 $N'$은 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 $ABC$가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 $ABC$의 나겔 직선(Nagel直線, 영어: Nagel line)이라고 한다. 삼각형 $ABC$가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 나겔 직선은 정의되지 않는다.

성질

오일러 직선 위의 점

정삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 다음과 같은 점들은 오일러 직선 위의 점이다.

• 외심 $O$: 외접원의 중심이자, 각 변의 수직 이등분선의 교점
• 무게 중심 $G$: 세 중선의 교점
• 구점원의 중심 $N$: 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심 사이의 선분의 중점을 지나는 원의 중심
• 수심 $H$: 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점

오일러 직선 위의 점 사이의 위치 관계

(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 (외심에 더 가까운) 삼등분점이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 $ABC$의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 $O$, $G$, $N$, $H$라고 할 경우

${\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}=2{\overrightarrow {ON}}=6{\overrightarrow {GN}}$

이다.^{:7, §1.3}

나겔 직선 위의 점

정삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 다음과 같은 점들은 나겔 직선 위의 점이다.

• 내심 $I$: 내접원의 중심이자, 세 각의 이등분선의 교점
• 무게 중심 $G$
• 슈피커 중심 $S$: 중점 삼각형의 내심
• 나겔 점 $N'$: 각 꼭짓점과 대변 위 방접원의 접점을 잇는 선분의 교점

나겔 직선 위의 점 사이의 위치 관계

(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 내심과 나겔 점을 잇는 선분의 (내심에 더 가까운) 삼등분점이며, 슈피커 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 $ABC$의 내심, 무게 중심, 슈피커 중심, 나겔 점을 각각 $I$, $G$, $S$, $N'$이라고 할 경우

${\overrightarrow {IN'}}=3{\overrightarrow {IG}}=2{\overrightarrow {IS}}=6{\overrightarrow {GS}}$

이다.^{:7, §1.4}

외부 링크

• “Euler straight line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nagel line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.