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정의편집

가환환   위의 리 대수  부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra)  는 리 괄호에 대하여 닫힌  -부분 가군이다. 즉,  이며  이다.

가환환   위의 리 대수  의 부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.

  •  -부분 가군이며,  이다.
  •  리 대수 준동형  가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra)  를 정의할 수 있다.

리 초대수의 경우편집

위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환   위의 리 초대수  부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra)  는 리 초괄호에 대하여 닫힌  -부분 가군이다. 즉,

 

이다.

가환환   위의 리 초대수  아이디얼(영어: ideal)  는 다음 조건을 만족시키는  -부분 가군이다.

  •  

즉,  이라고 할 때,

  •  리 대수  의 아이디얼이다.
  •   표현을 이루며 ( ), 또한  을 만족시킨다.

L∞-대수의 경우편집

위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환   위의 L∞-대수  부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra)  는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차  -부분 가군이다. 즉,

 
 

이다. 여기서  은 등급  의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환   위의 L∞-대수  아이디얼(영어: ideal)  는 다음 조건을 만족시키는  -부분 가군이다.

 
 

특히,  일 때 이 조건은

 

이다. 즉,   의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

성질편집

함의 관계편집

모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환   위의 리 대수  부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆  -부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군부분 집합

다른 성질과의 관계편집

표수 0 위의 유한 차원 리 대수  에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류 리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수 정확히 두 개의 아이디얼 (즉,  )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수 아벨 아이디얼은   밖에 없음
아벨 리 대수 모든  -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
  정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

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자명한 리 대수 아이디얼편집

모든 리 대수  에 대하여,   는 (자명하게)  의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

 
 

직합 성분편집

같은 가환환 위의 두 리 대수  ,  직합  에서,  는 각각  의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

 
 

리 대수 중심편집

가환환   위의 리 대수  중심(中心, 영어: center)  은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

 

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

유도 리 대수편집

가환환   위의 리 대수  가 주어졌을 때, 부분 공간

 

 의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를  유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다.

리 대수 근기편집

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

외부 링크편집