함수해석학 에서 인자 대수 (因子代數, 영어 : factor algebra )는 ‘분해’되지 못하는 폰 노이만 대수 이다. 모든 폰 노이만 대수 는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. 양자역학 에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.
폰 노이만 대수
A
{\displaystyle A}
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 인자 대수 라고 한다.
Z
(
A
)
=
C
1
A
{\displaystyle \operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} 1_{A}}
. 즉,
A
{\displaystyle A}
의 중심 은 모두 1의 스칼라배이다.
어떤 복소수 힐베르트 공간 표현
A
↪
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
에 대하여,
A
∩
C
B
(
H
,
H
)
(
A
)
=
C
{\displaystyle A\cap \operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)=\mathbb {C} }
이다.
어떤 복소수 힐베르트 공간 표현
A
↪
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
에 대하여,
C
B
(
H
,
H
)
(
C
B
(
H
,
H
)
(
A
C
B
(
H
,
H
)
(
A
)
)
)
=
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)))=\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
이다.
여기서
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
는 어떤 복소수 힐베르트 공간 이다.
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
는
H
→
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
유계 작용소 의 폰 노이만 대수 이다.
C
B
(
H
,
H
)
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(-)}
는
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
속에서 취한 중심화 부분환 이다.
위 세 조건 가운데, 마지막 조건은
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
위의 모든 유계 작용소 를
A
{\displaystyle A}
의 원소 및
A
{\displaystyle A}
와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상 에서의) 극한 으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는
A
{\displaystyle A}
에 속하는 관찰 가능량들과
A
{\displaystyle A}
와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며,
A
{\displaystyle A}
는
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.
C* 대수
A
{\displaystyle A}
의 원소
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
가운데,
a
=
a
2
=
a
∗
{\displaystyle a=a^{2}=a^{*}}
인 것을 사영원 (射影元, 영어 : projection )이라고 하고, 사영원들의 집합을
Proj
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Proj} (A)}
로 표기하자.
복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
위에 표현된 폰 노이만 대수
A
⊆
B
(
H
,
H
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
의 사영원
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
의 상
A
H
⊆
H
{\displaystyle A{\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {H}}}
으로 나타내어지는 부분 공간을
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
에 속하는 부분 공간 이라고 하자. 그렇다면, 이는
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 사영원들의 집합과
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응 을 정의한다.
폰 노이만 대수
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 두 사영원
A
,
B
∈
A
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}
에 대하여, 만약
A
=
C
C
∗
{\displaystyle A=CC^{*}}
이자
B
=
C
∗
C
{\displaystyle B=C^{*}C}
인
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
가 존재한다면,
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
가 서로 머리-폰 노이만 동치 (영어 : Murray–von Neumann equivalent )라고 하고,
A
∼
B
{\displaystyle A\sim B}
로 표기하자. 이는
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 사영원들의 집합 위의 동치 관계 를 이룬다.
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서 를 정의할 수 있다.
A
≲
B
⟺
∃
C
∈
Proj
(
A
)
:
A
∼
C
,
C
H
⊆
B
H
{\displaystyle A\lesssim B\iff \exists C\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon A\sim C,\;C{\mathcal {H}}\subseteq B{\mathcal {H}}}
폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서 를 이룬다.
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
의 사영원
A
∈
Proj
(
A
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})}
가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 유한 사영원 (영어 : finite projection )이라고 한다.
∀
B
∈
Proj
(
A
)
:
B
H
⊊
A
H
⟹
B
≁
A
{\displaystyle \forall B\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon B{\mathcal {H}}\subsetneq A{\mathcal {H}}\implies B\not \sim A}
인자들은 통상적으로 Ⅰ종 · Ⅱ1 종 · Ⅱ∞ 종 · Ⅲ종 으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다.
Ⅰ종 인자
A
{\displaystyle A}
의 경우,
Proj
(
A
)
∖
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {Proj} (A)\setminus \{0\}}
은 최소 원소 를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
Ⅱ1 종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다.
Ⅱ∞ 종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다.
Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.
이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다.
Ⅱ1 종 인자는 일반적으로 복잡하다.
Ⅱ∞ 종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ1 종 인자로부터 구성될 수 있다.
Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ1 종 인자로부터 구성될 수 있다.
즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ1 종 인자의 분류로 귀결된다.
Ⅰ종 인자 대수는 어떤 복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
에 대하여 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}
와 C* 대수 로서 동형이다.
구체적으로, 복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 임의의 단위 벡터
|
v
⟩
∈
H
{\displaystyle |v\rangle \in {\mathcal {H}}}
에 대하여,
|
v
⟩
⟨
v
|
{\displaystyle |v\rangle \langle v|}
는 0이 아닌 유한 사영원이다.
복소수 힐베르트 공간 은 그 힐베르트 차원 에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를
I
κ
{\displaystyle \operatorname {I} _{\kappa }}
형이라고 한다. (분해 가능 복소수 힐베르트 공간 의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
차원 경우는 보통
I
∞
{\displaystyle \operatorname {I} _{\infty }}
으로 표기된다.)
Ⅱ∞ 종 인자 대수는 항상 Ⅱ1 종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.
Ⅲ종 인자의 분류 이론은 도미타-다케사키 이론 이라고 한다.
구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 폰 노이만 대수
A
{\displaystyle A}
에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합
S
(
A
)
⊆
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \operatorname {S} (A)\subseteq [0,\infty )}
를 대응시키며, 이를
A
{\displaystyle A}
의 콘 스펙트럼 (영어 : Connes spectrum )이라고 한다. 만약
A
{\displaystyle A}
가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다.
S
(
A
)
∖
{
0
}
=
{
1
}
{\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{1\}}
. 이는 Ⅲ0 종 인자 대수라고 한다.
S
(
A
)
∖
{
0
}
=
{
…
,
λ
−
2
,
λ
−
1
,
1
,
λ
,
λ
2
,
λ
3
,
…
}
(
0
<
λ
<
1
)
{\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{\dotsc ,\lambda ^{-2},\lambda ^{-1},1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\dotsc \}\quad (0<\lambda <1)}
. 이는 Ⅲλ 종 인자 대수라고 한다.
S
(
A
)
∖
{
0
}
=
R
+
{\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}}
. 이는 Ⅲ1 종 인자 대수라고 한다.
(
S
(
A
)
∖
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}}
은 항상
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
의 닫힌 부분군 이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)
인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 존 폰 노이만 과 프랜시스 조지프 머리(영어 : Francis Joseph Murray , 1911~1996)가 양자역학 을 분석하기 위하여 도입하였다.[1]
도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 알랭 콘 이 1976년에 완료하였다.[2]
Yngvason, Jakob (2004). “The role of Type I factors in quantum field theory” (영어). arXiv :math-ph/0411058 .