함수해석학 에서, 재생핵 힐베르트 공간 (再生核Hilbert空間, 영어 : reproducing kernel Hilbert space )은 값매김 연산자가 유계 작용소 인, 함수로 구성된 힐베르트 공간 이다.[1] [2] 동치류 로 구성된 르베그 공간 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. (르베그 공간 의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.)
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
재생핵
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
(
H
,
X
,
ι
,
K
)
{\displaystyle (H,X,\iota ,K)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
힐베르트 공간
(
H
,
⟨
−
|
−
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle -|-\rangle )}
집합
X
{\displaystyle X}
단사 실수 선형 변환
ι
:
H
↪
K
X
{\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow \mathbb {K} ^{X}}
사상
K
:
X
→
H
{\displaystyle K\colon X\to H}
x
↦
K
x
{\displaystyle x\mapsto K_{x}}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
∈
H
{\displaystyle f\in H}
ev
x
(
ι
(
f
)
)
=
⟨
K
x
|
f
⟩
{\displaystyle \operatorname {ev} _{x}(\iota (f))=\langle K_{x}|f\rangle }
여기서
ev
x
:
K
X
→
K
{\displaystyle \operatorname {ev} _{x}\colon \mathbb {K} ^{X}\to \mathbb {K} }
ev
x
:
f
↦
f
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ev} _{x}\colon f\mapsto f(x)}
는 함수 공간 위의 값매김 사상이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립하여야 한다.
X
×
H
→
(
id
,
ι
)
X
×
K
X
(
K
,
id
)
↓
(
K
,
id
)
ev
↓
ev
H
×
H
→
⟨
−
|
−
⟩
R
{\displaystyle {\begin{matrix}X\times H&{\overset {(\operatorname {id} ,\iota )}{\to }}&X\times \mathbb {K} ^{X}\\{\scriptstyle (K,\operatorname {id} )}\downarrow {\color {White}\scriptstyle (K,\operatorname {id} )}&&{\color {White}\scriptstyle {\operatorname {ev} }}\downarrow {\scriptstyle {\operatorname {ev} }}\\H\times H&{\underset {\langle -|-\rangle }{\to }}&\mathbb {R} \end{matrix}}}
이 경우,
(
H
,
K
,
ι
,
K
)
{\displaystyle (H,K,\iota ,K)}
재생핵 은 다음과 같은 함수이다.
K
(
−
,
−
)
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle K(-,-)\colon X\times X\to \mathbb {K} }
K
(
x
,
y
)
=
⟨
K
x
|
K
y
⟩
{\displaystyle K(x,y)=\langle K_{x}|K_{y}\rangle }
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
K
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {K} }
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 임의의 유한 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
|
Y
|
<
ℵ
0
{\displaystyle |Y|<\aleph _{0}}
K
:
K
Y
×
K
Y
→
K
{\displaystyle K\colon \mathbb {K} ^{Y}\times \mathbb {K} ^{Y}\to \mathbb {K} }
K
:
(
∑
x
∈
Y
a
x
x
,
∑
y
∈
Y
b
y
y
)
↦
∑
x
,
y
∈
Y
a
¯
x
a
y
K
(
x
,
y
)
{\displaystyle K\colon \left(\sum _{x\in Y}a_{x}x,\sum _{y\in Y}b_{y}y\right)\mapsto \sum _{x,y\in Y}{\bar {a}}_{x}a_{y}K(x,y)}
로 선형으로 확장할 수 있다.
함수
K
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {K} }
가 다음 조건들을 만족시킨다면, 이를
X
{\displaystyle X}
양의 정부호 핵 (영어 : positive-definite kernel )이라고 한다.
(대칭성)
K
(
x
,
y
)
=
K
(
y
,
x
)
¯
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}\qquad \forall x,y\in X}
(양의 부정부호) 임의의 유한 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
x
→
,
y
→
∈
K
Y
{\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {K} ^{Y}}
K
(
x
→
,
y
→
)
≥
0
{\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {y}})\geq 0}
(비퇴화성) 임의의 유한 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
x
→
∈
K
Y
{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {K} ^{Y}}
K
(
x
→
,
x
→
)
=
0
{\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}})=0}
필요 조건 은
x
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle K}
f
(
y
)
=
∑
x
∈
X
∞
a
x
K
(
x
)
{\displaystyle f(y)=\sum _{x\in X}^{\infty }a_{x}K(x)}
∑
x
∈
X
a
x
2
K
(
x
,
x
)
<
∞
{\displaystyle \sum _{x\in X}a_{x}^{2}K(x,x)<\infty }
|
{
x
∈
X
:
a
x
≠
0
}
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |\{x\in X\colon a_{x}\neq 0\}|\leq \aleph _{0}}
이러한 함수들의 공간을
H
{\displaystyle H}
⟨
∑
x
a
x
K
x
|
∑
y
b
y
K
y
⟩
=
∑
x
,
y
a
x
a
y
K
(
x
,
y
)
{\displaystyle \left\langle \sum _{x}a_{x}K_{x}{\Bigg |}\sum _{y}b_{y}K_{y}\right\rangle =\sum _{x,y}a_{x}a_{y}K(x,y)}
을 정의하면,
H
{\displaystyle H}
힐베르트 공간 을 이루며
∀
x
∈
X
:
K
x
∈
H
{\displaystyle \forall x\in X\colon K_{x}\in H}
이다. 또한, 임의의
f
=
∑
y
a
y
K
y
{\displaystyle f=\sum _{y}a_{y}K_{y}}
에 대하여,
⟨
K
x
|
∑
y
a
y
K
y
⟩
=
∑
y
a
y
K
(
x
,
y
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \left\langle K_{x}{\Bigg |}\sum _{y}a_{y}K_{y}\right\rangle =\sum _{y}a_{y}K(x,y)=f(x)}
이다. 즉,
(
H
,
X
,
K
)
{\displaystyle (H,X,K)}
반대로, 모든 재생핵 힐베르트 공간은 위와 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
X
{\displaystyle X}
유한 집합 이라고 하자. 그렇다면,
H
=
K
X
{\displaystyle H=\mathbb {K} ^{X}}
K
(
x
,
y
)
=
δ
(
x
,
y
)
{\displaystyle K(x,y)=\delta (x,y)}
크로네커 델타 )는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.
보다 일반적으로,
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
고윳값 이 양의 실수인
|
X
|
×
|
X
|
{\displaystyle |X|\times |X|}
대칭 행렬 (
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
에르미트 행렬 (
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
실수선
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
H
=
{
f
∈
C
0
(
R
,
K
)
:
supp
(
F
f
)
⊆
[
−
a
,
a
]
}
{\displaystyle H=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\colon \operatorname {supp} ({\mathcal {F}}f)\subseteq [-a,a]\}}
을 생각하자.[1] :Example 4.2 푸리에 변환 아래 주파수들의 절댓값이
a
{\displaystyle a}
⟨
f
|
g
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
¯
g
(
x
)
d
x
=
∫
−
a
a
F
f
(
ω
)
¯
F
g
(
ω
)
d
ω
{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-a}^{a}{\overline {{\mathcal {F}}f(\omega )}}{\mathcal {F}}g(\omega )\,\mathrm {d} \omega }
이다.
이 경우, 재생핵은 다음과 같이 주어진다.
K
(
x
,
y
)
=
sin
(
a
(
y
−
x
)
)
π
(
y
−
x
)
{\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin(a(y-x))}{\pi (y-x)}}}
K
x
:
y
↦
K
(
x
,
y
)
{\displaystyle K_{x}\colon y\mapsto K(x,y)}
이 경우
F
K
x
(
ω
)
=
exp
(
−
i
ω
x
)
[
−
a
≤
ω
≤
a
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}K_{x}(\omega )=\exp(-\mathrm {i} \omega x)[-a\leq \omega \leq a]}
이다 (
[
⋯
]
{\displaystyle [\dotsb ]}
아이버슨 괄호 ). 구체적으로, 임의의
f
∈
H
{\displaystyle f\in H}
⟨
K
x
|
f
⟩
=
∫
−
a
a
F
K
x
(
y
)
¯
f
(
y
)
d
y
=
1
2
π
∫
−
a
a
F
f
(
ω
)
exp
(
i
ω
x
)
d
ω
=
f
(
x
)
{\displaystyle \langle K_{x}|f\rangle =\int _{-a}^{a}{\overline {{\mathcal {F}}K_{x}(y)}}f(y)\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2\pi }}\int _{-a}^{a}{\mathcal {F}}f(\omega )\exp(\mathrm {i} \omega x)\,\mathrm {d} \omega =f(x)}
이다.
재생핵
K
x
{\displaystyle K_{x}}
디랙 델타 로 생각할 수 있다. 만약
a
→
∞
{\displaystyle a\to \infty }
분포 로서
K
(
x
,
y
)
→
δ
(
y
−
x
)
{\displaystyle K(x,y)\to \delta (y-x)}
복소평면 속의 원
D
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}
위의 베르그만 공간 (영어 : Bergmann space )
H
{\displaystyle H}
2 노름이 유한한 정칙 함수
D
→
C
{\displaystyle \mathbb {D} \to \mathbb {C} }
2 노름으로 유도된다. 이 경우, 재생핵
K
(
w
,
z
)
=
1
(
1
−
w
¯
z
)
2
{\displaystyle K(w,z)={\frac {1}{(1-{\bar {w}}z)^{2}}}}
을 부여하면,
(
D
,
H
,
K
)
{\displaystyle (\mathbb {D} ,H,K)}
다음이 주어졌다고 하자.
콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
보렐 측도
μ
:
Borel
(
X
)
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Borel} (X)\to [0,\infty )}
열린집합 의 측도가 양의 실수라고 하자.연속 함수 인 양의 정부호 핵
K
:
X
×
X
→
R
{\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {R} }
그렇다면,
K
{\displaystyle K}
T
K
:
L
2
(
X
)
→
L
2
(
X
)
{\displaystyle T_{K}\colon \operatorname {L} ^{2}(X)\to \operatorname {L} ^{2}(X)}
T
K
:
f
↦
(
x
↦
∫
X
K
(
x
,
y
)
f
(
y
)
d
μ
(
y
)
)
{\displaystyle T_{K}\colon f\mapsto \left(x\mapsto \int _{X}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)}
를 정의한다. 이 경우, 머서 정리 (영어 : Mercer’s theorem )에 의하여,
T
K
{\displaystyle T_{K}}
유계 작용소 이며 콤팩트 작용소 이며 자기 수반 작용소 이며, 어떤 함수열
(
[
f
i
]
)
i
=
0
∞
⊆
L
2
(
X
)
{\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {L} ^{2}(X)}
을 고유 벡터 로 가지며, 그 고윳값
T
K
[
f
i
]
=
σ
i
T
K
{\displaystyle T_{K}[f_{i}]=\sigma _{i}T_{K}}
들은 음이 아닌 실수 값의 감소 수열
∞
>
σ
0
>
σ
1
>
⋯
>
0
{\displaystyle \infty >\sigma _{0}>\sigma _{1}>\dotsb >0}
을 이룬다. 또한,
(
[
f
i
]
)
i
=
0
∞
{\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }}
힐베르트 공간
L
2
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X)}
정규 직교 기저 를 이룬다. 또한, 함수 동치류
[
f
i
]
{\displaystyle [f_{i}]}
f
i
:
X
→
K
{\displaystyle f_{i}\colon X\to \mathbb {K} }
연속 함수 로 잡을 수 있다.
즉,
K
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
∞
σ
i
f
i
(
x
)
f
i
(
y
)
{\displaystyle K(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}f_{i}(x)f_{i}(y)}
의 꼴이다. 이 경우,
H
=
{
f
∈
L
2
(
X
;
K
)
∩
C
0
(
X
,
K
)
:
∑
i
=
0
∞
σ
i
−
1
|
⟨
f
|
ϕ
⟩
L
2
|
2
<
∞
}
{\displaystyle H=\left\{f\in \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )\cap {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )\colon \sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}^{-1}|\langle f|\phi \rangle _{\operatorname {L} ^{2}}|^{2}<\infty \right\}}
⟨
f
|
g
⟩
H
=
∑
i
=
0
∞
σ
i
−
1
⟨
f
|
ϕ
i
⟩
L
2
⟨
ϕ
i
|
g
⟩
L
2
{\displaystyle \langle f|g\rangle _{H}=\sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}^{-1}\langle f|\phi _{i}\rangle _{\operatorname {L} ^{2}}\langle \phi _{i}|g\rangle _{\operatorname {L} ^{2}}}
로 놓으면,
(
H
,
X
,
K
)
{\displaystyle (H,X,K)}
X
{\displaystyle X}
↑ 가 나 Manton, Jonathan H.; Amblard, Pierre-Olivier (2004). “A primer on reproducing kernel Hilbert spaces” (영어). arXiv :1408.0952 . ↑ Berlinet, Alain; Thomas, Christine (2004). 《Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics》 (영어). Kluwer Academic Publishers.
![{\displaystyle H=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\colon \operatorname {supp} ({\mathcal {F}}f)\subseteq [-a,a]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c960bc7a42e4ae80da9b0410cedddee1d6a8ad89)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}K_{x}(\omega )=\exp(-\mathrm {i} \omega x)[-a\leq \omega \leq a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43dfbc5a66280e8315a438a063d12352a6560bd)
![{\displaystyle [\dotsb ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cad2b00290e9ed04c9f2deb633f35a751c39083)
![{\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {L} ^{2}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6eaba0aa311b0111d27d0f1928f6d379a7af40)
![{\displaystyle T_{K}[f_{i}]=\sigma _{i}T_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5f81acb6e7304e7655b6f22d4a59f80978a806)
![{\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27445d0eab0d31fd665bf8640d3ae35b0efae2c1)
![{\displaystyle [f_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d2e98c175fe8474c39ef6b42d11159bf3419b7)
