다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
데데킨트 정역
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
의 분수체
K
=
Frac
R
{\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}
의 유한 분해 가능 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
그렇다면, 크룰-아키즈키 정리 에 의하여
R
{\displaystyle R}
의
L
{\displaystyle L}
속의 정수적 폐포
R
⊆
S
⊆
K
{\displaystyle R\subseteq S\subseteq K}
역시 데데킨트 정역 을 이룬다.
그렇다면, 상대 아이디얼 노름 (영어 : relative ideal norm )은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형 이다.
N
S
/
R
:
FracIdeal
(
S
)
→
FracIdeal
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)}
여기서
FracIdeal
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (-)}
은 (영 아이디얼 을 포함하는) 모든 분수 아이디얼 들로 구성된 곱셈 모노이드 이다.
이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름 을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.
상대 아이디얼 노름
N
S
/
R
:
FracIdeal
(
S
)
→
FracIdeal
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)}
은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형 이다.[1] :Proposition 1.5.14
N
S
/
R
(
(
0
)
S
)
=
(
0
)
R
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}((0)_{S})=(0)_{R}}
. 여기서
(
0
)
{\displaystyle (0)}
은 영 아이디얼 이다.
임의의 영 아이디얼 이 아닌 소 아이디얼
q
⊆
S
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq S}
및
p
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}
에 대하여, 만약
q
∣
p
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}
라면,
N
S
/
R
(
q
)
=
p
[
S
/
q
:
R
/
p
]
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}}
여기서
[
S
/
q
:
R
/
p
]
{\displaystyle [S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}
는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표 를 뜻한다.
여기서
q
∣
p
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}
라는 것은 분기화 에 대하여
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
가
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
위에 있다는 것을 뜻한다. 즉,
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
를
S
{\displaystyle S}
에서 소인수 분해 하면
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
는 그 소인수 가운데 하나이다.
아이디얼 노름은 체 노름 을 통해서도 정의할 수 있다.[2] :Proposition I.8.2 [3] :25, §4 분수 아이디얼
A
∈
FracIdeal
S
{\displaystyle {\mathfrak {A}}\in \operatorname {FracIdeal} S}
의 아이디얼 노름
N
S
/
R
(
A
)
∈
FracIdeal
R
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})\in \operatorname {FracIdeal} R}
은 다음과 같은 분수 아이디얼 이다.
N
S
/
R
(
A
)
=
{
r
1
N
L
/
K
(
a
1
)
+
r
2
N
L
/
K
(
a
1
)
+
⋯
+
r
n
N
L
/
K
(
a
n
)
:
n
∈
N
,
a
1
,
…
,
a
n
∈
A
,
r
1
,
…
,
r
n
∈
R
}
∈
FracIdeal
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})=\{r_{1}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+r_{2}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {N} _{L/K}(a_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {A}},\;r_{1},\dots ,r_{n}\in R\}\in \operatorname {FracIdeal} (R)}
즉,
N
L
/
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}
아래
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
의 상 으로 생성되는 분수 아이디얼 이다. 여기서
N
L
/
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}
는 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
에 대한 체 노름 이다.
대수적 수체
L
/
Q
{\displaystyle L/\mathbb {Q} }
이 주어졌을 때,
K
=
Q
{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
,
S
=
O
L
{\displaystyle S={\mathcal {O}}_{L}}
,
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
는 주 아이디얼 정역 이므로)
FracIdeal
(
Z
)
{\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (\mathbb {Z} )}
은 음이 아닌 유리수 의 곱셈 모노이드
Q
≥
0
{\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}}
로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형
N
O
L
/
Z
:
FracIdeal
(
O
L
)
→
Q
≥
0
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}}
을 정의하며, 절대 아이디얼 노름 이라고 한다.
절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체
L
/
Q
{\displaystyle L/\mathbb {Q} }
의 대수적 정수환
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
의 아이디얼
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
의 절대 아이디얼 노름 은 다음과 같다.[4] :34, §I.6
N
L
(
a
)
=
{
|
O
L
/
a
|
0
a
=
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})={\begin{cases}|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}|\\0&{\mathfrak {a}}=(0)\end{cases}}}
즉, 만약
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
가 영 아이디얼 이 아니라면 몫환
O
L
/
a
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}}
의 집합의 크기 이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형 을 이룬다.
N
O
L
/
Z
:
Ideal
(
O
L
)
→
N
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {N} }
N
O
L
/
Z
(
a
b
)
=
N
L
(
a
)
N
K
(
b
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})\operatorname {N} _{K}({\mathfrak {b}})}
N
O
L
/
Z
(
O
L
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathcal {O}}_{L})=1}
여기서
Ideal
(
O
L
)
{\displaystyle \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})}
은
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
의 아이디얼들의 곱셈 모노이드 이며,
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
은 자연수 (음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드 이다.
보다 일반적으로,
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
-분수 아이디얼 로 다음과 같이 일반화할 수 있다.
N
L
(
a
/
b
)
=
N
L
(
a
)
/
N
L
(
(
b
)
)
(
a
/
b
∈
FracIdeal
(
O
L
)
,
b
∈
O
L
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}}/b)=\operatorname {N} _{L}(\operatorname {a} )/\operatorname {N} _{L}((b))\qquad \left({\mathfrak {a}}/b\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L}),\;b\in {\mathcal {O}}_{L}\right)}
(여기서
(
b
)
{\displaystyle (b)}
는
b
{\displaystyle b}
로 생성되는 주 아이디얼 이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형 을 이룬다.
N
L
:
FracIdeal
(
O
L
)
→
Q
≥
0
{\displaystyle \operatorname {N} _{L}\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}}
여기서
FracIdeal
(
O
L
)
{\displaystyle \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})}
은 (영 분수 아이디얼을 포함하는)
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
의 분수 아이디얼 들의 곱셈 모노이드 이다.
Q
≥
0
{\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}}
는 음이 아닌 유리수 들의 곱셈 모노이드 이다.
대수적 수체
L
{\displaystyle L}
의 무한 또는 유한 자리
q
∣
p
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}
(
p
∈
{
2
,
3
,
5
,
7
,
…
,
∞
}
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{2,3,5,7,\dots ,\infty \}}
)에 대하여 다음을 정의하자.
κ
(
q
)
{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {q}})}
는 값매김환
O
L
q
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}}
의 잉여류체 이다. (만약
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
가 무한 위치라면
O
L
q
=
L
q
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}=L_{\mathfrak {q}}}
이다.) 마찬가지로
κ
(
p
)
{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}
는 값매김환
O
K
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{\mathcal {p}}}}
의 잉여류체이다.
f
p
=
[
κ
(
q
)
:
κ
(
p
)
]
{\displaystyle f_{\mathfrak {p}}=[\kappa ({\mathfrak {q}}):\kappa ({\mathfrak {p}})]}
는 분기화
S
/
R
{\displaystyle S/R}
에 대한
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
의 관성 차수이다.
그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
N
(
q
)
=
{
q
ν
(
q
)
q
∤
∞
e
ν
(
q
)
q
∣
∞
{\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {q}})={\begin{cases}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathrm {e} ^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}}
그렇다면 임의의 아라켈로프 인자
A
=
∏
q
q
ν
(
q
)
ν
(
q
)
∈
{
Z
q
∤
∞
R
q
∣
∞
{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod _{\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}\qquad \nu ({\mathfrak {q}})\in {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathbb {R} &{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}}
의 아이디얼 노름 은 다음과 같다.[4] :186, Definition III.1.5
N
(
A
)
=
∏
q
N
(
q
)
ν
(
q
)
∈
R
+
{\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {A}})=\prod _{\mathfrak {q}}\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})^{\nu ({\mathfrak {q}})}\in \mathbb {R} ^{+}}
이는 아라켈로프 인자 들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
으로 가는 군 준동형 을 정의한다.
보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름 (영어 : relative idèle norm )이 존재한다.
N
L
/
K
:
A
L
×
→
A
K
×
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon \mathbb {A} _{L}^{\times }\to \mathbb {A} _{K}^{\times }}
N
L
/
K
:
(
a
q
)
q
∈
Places
L
↦
∏
q
∣
p
N
L
q
/
K
p
(
a
q
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} L}\mapsto \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}(a_{\mathfrak {q}})}
여기서
∏
q
∣
p
{\displaystyle \textstyle \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}}
는
K
{\displaystyle K}
의 모든 자리
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
및
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
가 분기화 하는 모든
L
{\displaystyle L}
의 자리
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
들에 대한 곱이다.
N
L
q
/
K
p
{\displaystyle \operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}}
는 완비체의 확대
L
q
/
K
p
{\displaystyle L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}
에 대한 체 노름 이다.
이는 연속 함수 이며 군 준동형 을 이룬다.
a
∈
L
×
{\displaystyle a\in L^{\times }}
에 의하여 정의되는 주 이델
(
a
)
∈
A
L
×
{\displaystyle (a)\in \mathbb {A} _{L}^{\times }}
의 상 은
K
{\displaystyle K}
의 주 이델 이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형
C
L
→
C
K
{\displaystyle C_{L}\to C_{K}}
을 정의한다.
마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름 (영어 : absolute idèle norm )이 존재한다.
N
K
:
A
K
×
→
R
+
{\displaystyle \operatorname {N} _{K}\colon \mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} ^{+}}
N
K
:
(
a
q
)
q
∈
Places
K
↦
∏
p
|
a
|
p
{\displaystyle \operatorname {N} _{K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} K}\mapsto \prod _{\mathfrak {p}}|a|_{\mathfrak {p}}}
이는 연속 함수 이며 군 준동형 을 이룬다.
a
∈
K
×
{\displaystyle a\in K^{\times }}
에 의하여 생성되는 주 이델
(
a
)
∈
A
K
×
{\displaystyle (a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}
의 절대 이델 노름은 항상 1이다.[4] :185, Proposition III.1.3 따라서 이는 이델 유군 을 정의역으로 하는 연속 군 준동형
C
K
→
R
+
{\displaystyle C_{K}\to \mathbb {R} ^{+}}
을 정의한다.
임의의 대수적 수체 의 대수적 정수환
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
에서, 주 아이디얼 의 절대 아이디얼 노름은 체 노름
N
K
/
Q
{\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }}
의 절댓값 이다. 보다 일반적으로,
L
=
Frac
O
L
{\displaystyle L=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{L}}
의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼
(
a
O
L
)
{\displaystyle (a{\mathcal {O}}_{L})}
의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 의 절댓값 이다.
N
O
L
/
Z
(
a
O
L
)
=
|
N
K
/
Q
(
a
)
|
(
a
∈
K
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }(a{\mathcal {O}}_{L})=|\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|\qquad (a\in K)}
그러나 아이디얼 노름은 체 노름 과 달리 부호를 기억하지 않는다.
임의의 대수적 수체
L
/
Q
{\displaystyle L/\mathbb {Q} }
에 대하여,
L
{\displaystyle L}
의 복소수 자리 의 수(즉, 환 준동형 집합
hom
CRing
(
L
,
C
)
{\displaystyle \hom _{\operatorname {CRing} }(L,\mathbb {C} )}
의 크기 의 절반. 이는 복소켤레 에 의하여 이는 항상 정수이다)를
s
C
(
L
)
{\displaystyle s_{\mathbb {C} }(L)}
라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼 이 아닌) 아이디얼
a
⊆
O
L
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{L}}
에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[4] :35, Lemma I.6.2
(
π
2
)
s
C
(
L
)
≤
|
Δ
L
|
N
O
L
/
Z
(
a
)
min
a
∈
a
∖
{
0
}
|
N
L
/
Q
(
a
)
|
{\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s_{\mathbb {C} }(L)}\leq {\frac {{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}})}{\min _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}|\operatorname {N} _{L/\mathbb {Q} }(a)|}}}
여기서
Δ
L
{\displaystyle \Delta _{L}}
은 수체의 판별식 을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체 의 복소수 자리의 수의 상계 를 얻을 수 있다.