해석학에서, 함수의 극대점(極大點, 영어: local maximum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, 영어: local maximum (value))은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, 영어: local minimum point)은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, 영어: local minimum (value))은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, 영어: local extremum point)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(영어: local extremum (value))이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.
함수의 최대점(最大點, 영어: global maximum point)과 최소점(最小點, 영어: global minimum point)은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, 영어: global maximum (value))과 최솟값(最小값, 영어: global minimum (value))은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다.
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 인 함수 를 생각하자.(여기서 는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다. 즉, 는 함수 의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 부터 까지의 모든 에대해 임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.
극댓값의 정의에 의하여 를 만족하는 를 포함하는 어떤 개구간가 존재한다. 개구간은 열린 집합이므로 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다. 가 존재하므로 이를 라하자. 그렇다면 이다. 일 때 이므로 이다.(극한의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 일 때 이므로 이다. 인 동시에이므로 이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다.
모든 n에 대해
임의의 벡터 에 대해 함수 을 로 정의하자. 그렇다면 는 에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 이므로 연쇄법칙에 의하여 이다. 임의의 에 대해 이므로 이다.
함수 이 함수이고 가 함수 의 임계점일 때, 가 양의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이상이고 일때만 0이라면 에서 극소이다. 반대로 가 음의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이하이고 일때만 0이라면 에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.
여기서 이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. 이라면 이므로 일때만 양의 정부호이고 일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 의 부호를 알아보는 것이다.
보조정리: 어떤 실수행렬 가 있을 때 이차 함수 를 정의하자. 만약 가 양의 정부호라면 모든 가 을 만족하는 양의 실수 이 존재한다.
(증명) 인 에 대해 는 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 최솟값 을 가진다. 이때 가 양의 정부호이므로 이다. 는 이차함수이므로 이 아닌 모든 에 대해 가 성립한다. 일때는 자명하다.
이므로 테일러 정리에 의하여 이다. 여기서 이다. 만약 가 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 를 만족하는 양의 실수 이 존재하며 극한의 정의에 의하여 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다. 따라서 일 때 , 즉 이다. 그러므로 에서 극소이다. 비슷한 방식으로 가 음의 정부호이면 에서 극대이다.
헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.
예를 들어, 이변수 함수 이고 함수일 경우 만약 에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
만약 이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.