칼로론

양자장론에서 칼로론(영어: caloron 캘러론^[*])은 유한한 온도의 양-밀스 이론을 나타내는 솔리톤이다. 즉, 이는 한 차원을 축소화한 유클리드 공간 위의 양-밀스 순간자이다.

정의

콤팩트 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 칼로론은 4차원 리만 다양체

$\mathbb {R} ^{3}\times {\frac {\mathbb {R} }{\beta \mathbb {Z} }}$

위의, 게이지 군 $G$에 대한 양-밀스 순간자이다. 여기서 양의 실수 $\beta \in \mathbb {R} ^{+}$는 주기적 차원의 주기이다. 물리학적으로, 이는 (볼츠만 상수를 1로 놓았을 때) 절대 온도의 역수에 해당한다.

성질

모듈라이 공간

SU(N) 게이지 군의 칼로론의 모듈라이 공간을 생각하자. 모듈라이 공간을 정의하기 위해서는 다음과 같은 매개 변수들이 필요하다.

• 순간자수 $k\in \mathbb {Z}$
• 무한대에서의 윌슨 고리 (홀로노미) $\mathrm {P} \exp \textstyle \oint A\in G$. 이는 게이지 군을 카르탕 부분군으로 깬다. 그 고윳값을 $\exp(\mathrm {i} \lambda _{1},\dotsc ,\mathrm {i} \lambda _{N})$이라고 하자.
• 자하(磁荷) $q_{1},\dotsc ,q_{N}\in \mathbb {Z}$. 이들은 카르탕 부분군에 대한 자하이다.

그렇다면 이에 대한 칼로론 모듈라이 공간을 정의할 수 있다. 이는 리만 계량을 갖춘 $4N|k|$차원의 오비폴드이며, (오비폴드 특이점을 무시하면) 초켈러 다양체이다.

남 방정식

SU(N) 칼로론은 남 방정식으로 구성할 수 있다. 이 경우 남 방정식은 원 위에 정의되며, 이 원 위의 벡터 다발의 차원은 $N$개의 점에서 바뀔 수 있다. 즉, 원은 $N$개의 구간으로 구성되며, 각 구간에서 벡터 다발의 차원은 일정하다.

남 방정식	물리량
원의 분할에서, 각 구간의 길이	무한대에서의 윌슨 고리의 고윳값
원의 둘레 길이	절대 온도 $T$ (에 비례)
각 구간에서 벡터 다발의 차원	순간자수 및 자하(磁荷)
구간의 수 N	게이지 군 SU(N)의 이중 콕서터 수

자기 홀극과의 관계

칼로론 모듈라이 공간의 차원은

$4h^{\vee }(G)|k|$

이다. 여기서 $h^{\vee }(G)$는 게이지 군의 이중 콕서터 수이며, $k\in \mathbb {Z}$는 순간자수이다. 한 개의 (즉, $k=1$) 칼로론은 사실 $h^{\vee }(G)$개의 조각들로 이루어진 것으로 생각할 수 있으며, 각 조각은 자기 홀극으로 생각할 수 있다. 즉, 각 조각은 순간자수 $1/h^{\vee }(G)$를 가지며, 자하(磁荷)의 절댓값이 1이다. 조각들의 자하의 총합은 0이며, 순간자수의 총합은 1이 되어 이는 한 개의 칼로론을 이룬다.

또한, 칼로론은 고리군 값의 자기 홀극으로 생각할 수도 있다.

역사

칼로론은 1978년에 배리 해링턴(영어: Barry J. Harrington)과 하비 셰퍼드(영어: Harvey K. Shepard)가 최초로 발견하였다. ‘칼로론’이라는 단어는 라틴어: calor 칼로르^[*](열 熱)에서 유래하였으며, 유한 온도의 양-밀스 이론에서 중요하기 때문에 이러한 이름이 붙었다.

외부 링크

• “Caloron”. 《nLab》 (영어). 
• “Caloron correspondence”. 《nLab》 (영어).