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리 군론에서, 고리군(영어: loop group)은 리 군고리 공간이며, 위상군을 이룬다.[1] 이에 대하여, 반단순 리 군의 경우와 마찬가지로 보렐-베유-보트 정리 등의 이론을 전개할 수 있다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

 

위에는 점별 곱셈 및 콤팩트-열린집합 위상을 통해 위상군의 구조를 줄 수 있다. 이를  의,   위의 게이지 변환 군(영어: group of gauge transformations)이라고 한다. 만약  일 때, 이를  고리군이라고 하며,  라고 표기된다.

고리군 위에는 자기 동형의 족

 
 

이 주어지며, 이를 통해 반직접곱

 

를 정의할 수 있다.

양에너지 표현편집

복소수 힐베르트 공간   위의, 원군표현

 

이 다음과 같은 꼴이라면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다.

 

여기서  는 양의 실수 스펙트럼을 갖는 (유계 또는 비유계) 작용소이다.

복소수 힐베르트 공간   위의 연속 표현

 

이 다음 조건을 만족시킨다면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다.

  •  원군의 양에너지 표현이며,  연속 표현  이 존재한다.

성질편집

위상수학적 성질편집

 연결 공간필요 충분 조건 연결 단일 연결 공간인 것이다.

 연결 단일 연결 콤팩트 반단순 리 군이라고 하고, 그 카르탕 부분군 라고 하자. 그렇다면, 올다발

 

이 존재한다.

 의 2차 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

 

대수적 성질편집

아핀 리 대수는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다.

표현론편집

 

에 대하여   위의 복소수 선다발

 

을 정의할 수 있다. 또한, 그 정칙 단면의 복소수 힐베르트 공간

 

을 생각하자. 동차 공간   위에는  의 표준적인 왼쪽 작용이 존재하며, 이는   위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는  표현을 이룬다.

또한, 만약  에서 양근의 집합을 선택할 경우, 보렐-베유-보트 정리에서의 구성으로서 아벨 군의 동형

 

이 결정된다. 여기서   폰트랴긴 쌍대군(즉,  의 꼴의 군 준동형의 군)이다.

고리군에 대하여, 다음과 같은 보렐-베유-보트 정리의 일종이 성립한다.[1]:163, Proposition (4.2)

  •  는 0차원이거나 또는  의 기약 양에너지 표현을 이룬다.
  • 반대로,  의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는  가 존재한다.
  •  필요 충분 조건은 다음과 같다.
    •  의 모든 양의 쌍대근  에 대하여,  

여기서   리 대수   (즉, 쌍대근의 공간) 위의 표준적인 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이다.

참고 문헌편집

  1. Segal, Graeme B. (1985). 〈Loop groups〉. 《Arbeitstagung Bonn 1984》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 1111. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-15195-1. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/BFb0084589. 

외부 링크편집