대수적 위상수학에서 위상 공간
의 코호몰로지 환은 환 곱셈 역할을 하는 합곱과 함께
의 코호몰로지 군에서 형성된 환이다. 여기서 '코호몰로지'는 일반적으로 특이 코호몰로지로 이해되지만 환 구조는 드 람 코호몰로지와 같은 다른 이론에도 존재한다. 그것은 또한 함자적이다: 공간의 연속 사상에 대해 코호몰로지 환에서 반변인 환 준동형사상을 얻는다.
구체적으로, 계수가 가환 환
(일반적으로
)인
상의 코호몰로지 군
들의 열이 주어지면 다음과 같은 형태로 합곱을 정의할 수 있다:
![{\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768dd1161cbc06bcfcbb811420b0d29658fe65e6)
합곱은 코호몰로지 군들의 직합
![{\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fabba81993f0d54ab04dc0ce1a22ebb0fddcd2)
에 곱셈으로 볼 수 있다. 이 곱셈은
를 환으로 바꾼다. 사실, 음이 아닌 정수
가 차수 역할을 하는
-등급 환이다. 합곱은 이 등급을 준수한다.
코호몰로지 환은 합곱이 등급에 의해 결정된 부호까지 교환한다는 의미에서 등급-가환적이다. 구체적으로,
와
차의 순수 원소에 대해;
![{\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2964cdde335bc1d7bb6da98c2cd0f377ffa0a0fe)
코호몰로지 환에서 파생된 수치적 불변량은 합곱 길이이며, 이는 곱했을 때 0이 아닌 결과가 나오는 차수 ≥ 1인 등급 원소의 최대 수를 의미한다. 예를 들어 복소 사영 공간의 합곱 길이는 복소 차원과 같다.
- 어디 .
- 어디 .
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- 퀴네트 공식에 의해, 개의 들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은 계수가 의 원소인 변수의 다항식 환이다..
- 쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이다.
- 서스펜션의 코호몰로지 환은 0차인 부분을 제외하고 사라진다.
- Novikov, S. P. (1996). 《Topology I, General Survey》. Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.