클리퍼드 가군 다발
미분기하학에서 클리퍼드 가군 다발(Clifford加群다발, 영어: Clifford module bundle)은 각 올이 (클리퍼드 다발의 올인) 클리퍼드 대수의 가군의 구조를 갖는 벡터 다발이다.[1]
정의
편집다음 데이터가 주어졌다고 하자.
만약 각 에서, 의 위의 작용이 주어져 가 의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, 를 의 클리퍼드 가군 다발(영어: Clifford module bundle)이라고 한다. 물론, 마찬가지로 매끄러운 클리퍼드 가군 다발을 정의할 수 있다.
클리퍼드 가군 다발 접속
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만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속(영어: Clifford module bundle connection)이라고 한다. 임의의 및 벡터장 및 매끄러운 단면 에 대하여,
즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다.
연산
편집직합
편집같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.
텐서곱
편집다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
- 위의 클리퍼드 다발
- 위의 클리퍼드 가군 다발
- 위의 매끄러운 벡터 다발
그렇다면, 위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.
특히, 가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다.
예
편집스피너 다발
편집준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 그 접다발 에 대한 클리퍼드 다발 이 존재한다. 만약 에 스핀 다양체의 구조가 주어졌다면, 그 스피너 다발 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 레비치비타 접속을 통해 위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발
으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
이 경우, 레비치비타 접속을 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약 위에 스핀 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
보다 일반적으로, 위의 스핀C 다양체 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
일반화 기하학
편집매끄러운 다양체 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 가 주어졌다면, 위의 자연스러운 이차 형식
을 통해 클리퍼드 다발 을 정의할 수 있다. 이 경우, 의 단면은 임의의 미분 형식 위에 다음과 같이 작용한다.
를 따르므로, 은 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
특히, 인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.
같이 보기
편집참고 문헌
편집- ↑ Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.
외부 링크
편집- “Clifford module bundle”. 《nLab》 (영어).