추이적 모형

집합론에서 추이적 모형(推移的模型, 영어: transitive model)은 내부적 포함 관계가 외부적 포함 관계와 같은, 추이적 집합 위에 정의된 집합론 모형이다.

정의 편집

집합론의 언어 ${\mathcal {L}}_{\in }$ 은 하나의 이항 관계 $\in$ 만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조 $(M,{\tilde {\in }})$ 가 주어졌다고 하자. 만약 ${\tilde {\in }}$ (내적인 연산)이 $\in$ (외적인 연산)과 일치한다면, $(M,{\tilde {\in }})$ 이 표준 구조(標準構造, 영어: standard structure)라고 한다.

${\mathcal {L}}_{\in }$ 의 표준 구조 $M$ 에 대하여, 만약 $M$ 이 추이적 집합이라면, $M$ 을 추이적 표준 구조(推移的標準構造, 영어: transitive standard structure)라고 한다.

${\mathcal {L}}_{\in }$ 의 구조 $(M,{\tilde {\in }})$ 에서, 만약 ${\tilde {\in }}$ 이 정초 관계라면, $(M,{\tilde {\in }})$ 을 정초 구조(整礎-, 영어: well founded structure)라고 한다.

${\mathcal {L}}_{\in }$ 의 구조 $(M,{\tilde {\in }})$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 확장적 구조(영어: extensional structure)라고 한다.

M\models \forall x\forall y\left(\left(\forall z\colon z\in x\iff z\in y\right)\iff x=y\right)

즉, $M$ 에서 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립해야 한다.

성질 편집

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 반대 함의는 성립하지 않는다.

그로텐디크 전체는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형이다. 그러나 그로텐디크 전체는 모든 원소의 멱집합을 포함하여야 하므로, 이는 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

정초 구조의 개념은 절대적이지 않으며, 외적인 개념이다. 구체적으로, 다음과 같은 ${\mathcal {L}}_{\in }$ -문장 ${\mathsf {AF}}$ 를 생각하자. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리이다.)

\forall y\exists x\in y\colon x\cap y=\varnothing

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

\forall y\exists x\left(x\in y\land \forall z\colon \lnot (z\in x\land z\in y)\right)

${\mathcal {L}}_{\in }$ 의 구조 $M$ 에 대하여, 만약 $M$ 이 정초 구조라면 $M\models {\mathsf {AF}}$ 이지만, 반대 방향의 함의는 성립하지 않는다.

모스토프스키 붕괴 편집

${\mathcal {L}}_{\in }$ 의 구조 $(M,{\tilde {\in }})$ 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

정초 구조이다.
확장적 구조이다.

그렇다면, 모스토프스키 붕괴 정리(Mostowski崩壞定理, 영어: Mostowski collapse theorem)에 따르면, $(M,{\tilde {\in }})$ 은 추이적 표준 구조 ${\tilde {M}}$ 과 동형이다. 또한, 이러한 동형은 유일하다. 구체적으로, 이 동형 $\pi \colon M\to {\tilde {M}}$ 은 다음과 같다.