파인먼-카츠 공식

확률론에서, 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, 영어: Feynman–Kac formula)은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 마팅게일일 경우 미분 계수 에서 시간 에 대한 변화율을 나타내는 항인 가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 가 주어진 이토 확률 과정 에 대한 보렐 가측 함수 가 시점 에 갖는 값에 대한 시점 의 기댓값 마팅게일임을 이용하여 를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 확률 공간  
  • 유클리드 공간  . 그 벡터 지표를  로 나타내자 ( ).
  •   위의 위너 확률 과정  
  •  에 대한 이토 확률 과정  
  • 보렐 가측 함수  
  • 보렐 가측 함수  
  • 보렐 가측 함수  . 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

 
 

특히,

 

이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

 

이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

 

이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

 

아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

 

특히, 만약  인 경우  는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

 

이 경우

 

이다.

리만 다양체의 경우편집

리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다.[1] 다음이 주어졌다고 하자.

  •  차원 연결 리만 다양체  . 그 벡터 지표를  로 나타내자 ( )
  •   (초기 조건)
  • 양의 실수   (최종 시각)

그렇다면, 초기 조건이  연속 함수로 구성된 바나흐 공간

 

을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

 

을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉,   위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도  가 존재한다.

또한, 임의의   (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

 

를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

 

을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는   위의 확률 측도조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

  •   (퍼텐셜 함수)
  •   (초기 조건)

그렇다면, 실수 힐베르트 공간

 

위에 자기 수반 작용소해밀토니언 연산자

 

를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자  는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로,   전체로 유일한 프리드릭스 확장(영어: Friedrichs extension)을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

 
 

을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

 

를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

 
 

이다.

파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

 

증명편집

편의상  ,  인 경우만을 생각하자.

 의 마팅게일 특성편집

만약 시점  가 주어졌을 경우, 시점    가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점   가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

따라서  마팅게일이다.

편미분 방정식의 도출편집

이토 확률 과정  에 대한 확률 미분 방정식의 해를  라고 하자.  마팅게일이므로 미분 계수  에서 시간  에 대한 변화율을 나타내는 항인  는 반드시 0이다. 미분 계수  를 정리하면 다음과 같다.

 

따라서 항  의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든  에 대해  가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.

 

역사편집

리처드 파인먼마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 영어: Mark Kac, 1914〜1984)의 이름을 땄다.

파인먼은 이 공식을 양자역학경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Bär, Christian; Pfäffle, Frank. “Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula” (영어). arXiv:1108.5082. 
  2. Kac, Mark (1949). “On distributions of certain Wiener functionals”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (1): 1–13. doi:10.2307/1990512. JSTOR 1990512. MR 27960. 

외부 링크편집