프레드홀름 작용소

함수해석학에서 프레드홀름 작용소(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 핵과 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 지표(指標, 영어: index 인덱스^[*])라고 한다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$이며, $X$와 $Y$가 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라고 하자. $X$와 $Y$ 사이의 $\mathbb {K}$-유계 작용소 $T\in B(X,Y;\mathbb {K} )$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mathbb {K}$-유계 작용소를 프레드홀름 작용소라고 한다.

• $T$의 핵 $\ker T=T^{-1}(0)$과 여핵 $\operatorname {coker} T=Y/\operatorname {im} T$이 유한 차원의 벡터 공간이다.^:156 여기서 $Y/\operatorname {im} T$는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
• 핵 $\ker T$과 여핵 $\operatorname {coker} T$이 유한 차원이며, 또한 그 상 $T(X)$가 닫힌집합이다.
• $T$는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 $S\in B(Y,X)$가 존재하여, $\operatorname {Id} _{X}-ST$와 $\operatorname {Id} _{Y}-TS$ 둘 다 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소 $T$의 지표 $\operatorname {ind} T$는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.

$\operatorname {ind} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T$.

성질

연산에 대한 닫힘

프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소

$X{\xrightarrow {T}}Y{\xrightarrow {U}}Z$

가 주어졌을 때, $U\circ T\colon X\to Z$ 역시 프레드홀름 작용소이며,

$\operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T)$

이다.

프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $X,Y$ 사이의 프레드홀름 작용소 $F\colon X\to Y$와 콤팩트 작용소 $K\colon X\to Y$가 주어졌을 때,

$\operatorname {ind} (F+K)=\operatorname {ind} (F)$

이다.

위상수학적 성질

$\mathbb {K}$-유계 작용소의 공간 $\operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )$에 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합

$\operatorname {Fred} (X,Y;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )$

은 그 속의 열린집합이다.

아티야-싱어 지표 정리

 이 부분의 본문은 아티야-싱어 지표 정리입니다.

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.

예

만약 $X$와 $Y$가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

임의의 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.

밀기

분해 가능 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 정규 직교 기저

$(e_{i})_{i=0}^{\infty }$

를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator)

$S\colon e_{i}\mapsto e_{i+1}\qquad \forall i\in \mathbb {N}$

를 생각할 수 있다. 이 경우

$\ker S=\{0\}$

$\operatorname {im} S=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {K} }\{e_{0}\}\right)^{\perp }$

이므로

$\operatorname {ind} S=\dim \ker S-\dim \operatorname {coker} S=-1$

이다.

역사

적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름의 이름을 땄다.

참고 문헌

• D.E. Edmunds, W.D. Evans (1987). 《Spectral theory and differential operators》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2. 
• Driver, Bruce K. (2003년 6월 9일). 《Analysis Tools with Applications》 (PDF) (영어). 579–600쪽. 

외부 링크

• “Fredholm operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.