부분 순서 집합
(
S
,
≤
)
{\displaystyle (S,\leq )}
속의 유한 길이의 사슬
a
0
≤
a
1
≤
⋯
≤
a
n
{\displaystyle a_{0}\leq a_{1}\leq \cdots \leq a_{n}}
에 대하여, 새 원소를 추가할 수 없다면 (즉, 임의의
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
에 대하여
a
i
−
1
≤
a
′
≤
a
i
{\displaystyle a_{i-1}\leq a'\leq a_{i}}
인 원소
a
′
{\displaystyle a'}
이 존재할 수 없다면), 이 사슬을 포화 사슬 (영어 : saturated chain )이라고 한다. 부분 순서 집합
(
S
,
≤
)
{\displaystyle (S,\leq )}
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 현수 부분 순서 집합 (懸垂部分順序集合, 영어 : catenary poset )이라고 한다.
임의의 두 원소
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
에 대하여,
p
{\displaystyle p}
를 최소 원소 로,
q
{\displaystyle q}
를 최대 원소 로 하는 가는 사슬 의 크기는 항상 유한하다.
임의의 두 원소
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
에 대하여,
p
{\displaystyle p}
를 최소 원소 로,
q
{\displaystyle q}
를 최대 원소 로 하는 가는 모든 포화 사슬 의 크기는 같다.
가환환
R
{\displaystyle R}
의 소 아이디얼 들의 부분 순서 집합 이 현수 부분 순서 집합이라면,
R
{\displaystyle R}
를 현수환 (懸垂環, 영어 : catenary ring )이라고 한다.
마찬가지로, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 공집합 이 아닌 기약 닫힌집합 들의 부분 순서 집합이 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합이라면,
X
{\displaystyle X}
를 현수 공간 (懸垂空間, 영어 : catenary space )이라고 한다. 현수 스킴 (懸垂scheme, 영어 : catenary scheme )은 위상 공간 으로서 현수 공간인 스킴 이다.
대수기하학 적으로, 소 아이디얼
p
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}
은 닫힌 부분 스킴
Spec
(
R
/
p
)
⊆
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {Spec} R}
에 대응한다. 현수환 조건은 이러한 두 닫힌 부분 스킴의 상대 크룰 차원 이 일정함을 뜻한다.
가환환
R
{\displaystyle R}
위의 모든 유한 생성 가환 결합 대수 가 현수환이라면,
R
{\displaystyle R}
를 보편 현수환 (普遍懸垂環, 영어 : universally catenary ring )이라고 한다. 마찬가지로, 스킴
X
{\displaystyle X}
위의 모든 국소 유한형 스킴
Y
→
X
{\displaystyle Y\to X}
가 현수 스킴이라면,
X
{\displaystyle X}
를 보편 현수 스킴 (普遍懸垂scheme, 영어 : universally catenary scheme )이라고 한다.
가환 뇌터 국소환 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
가환 뇌터 국소환 ⊋ 뇌터 현수 국소환 ⊋ 뇌터 보편 현수 국소환 ⊋ 코언-매콜리 국소환 ⊋ 고런스틴 국소환 ⊋ 정칙 국소환
모든 데데킨트 정역 은 보편 현수환이다. 모든 완비 뇌터 국소환은 보편 현수환이다.
보편 현수환의 임의의 곱셈 부분 모노이드 에서의 국소화 는 보편 현수환이다. 보편 현수환 위의 유한 생성 가환 결합 대수 는 보편 현수환이다.
가환환
R
{\displaystyle R}
에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치 이다.
현수환이다.
모든 소 아이디얼
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여,
R
p
{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}
는 국소 현수환이다.
모든 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
에 대하여,
R
m
{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}
는 국소 현수환이다.
가환 뇌터 환
R
{\displaystyle R}
에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치 이다.
보편 현수환이다.
모든 소 아이디얼
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여,
R
p
{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}
는 국소 보편 현수환이다.
모든 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
에 대하여,
R
m
{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}
는 국소 보편 현수환이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
뇌터 정역
R
{\displaystyle R}
및 그 위의 유한 생성 가환 결합 대수
S
⊇
R
{\displaystyle S\supseteq R}
. 또한
S
{\displaystyle S}
역시 정역 이다.
S
{\displaystyle S}
의 소 아이디얼
q
∈
Spec
S
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spec} S}
및
R
{\displaystyle R}
의 소 아이디얼
p
=
q
∩
R
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R\in \operatorname {Spec} R}
그렇다면, 다음이 성립한다.
ht
(
q
)
≤
ht
(
p
)
+
t
r
d
e
g
R
S
−
t
r
d
e
g
Frac
(
R
/
p
)
(
Frac
(
S
/
q
)
)
{\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {tr\,deg} _{R}S-\operatorname {tr\,deg} _{\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}(\operatorname {Frac} (S/{\mathfrak {q}}))}
여기서
Frac
{\displaystyle \operatorname {Frac} }
은 정역 의 분수체 를 뜻한다.
ht
{\displaystyle \operatorname {ht} }
는 아이디얼의 높이 를 뜻한다.
t
r
d
e
g
{\displaystyle \operatorname {tr\,deg} }
는 체의 확대 의 초월 차수 를 뜻한다.
만약
R
{\displaystyle R}
가 추가로 보편 현수환이라면, 위 부등식은 등식이 된다.