위상 공간
X
{\displaystyle X}
기약 집합 (영어 : irreducible set )은 기약 공간 이며 공집합 이 아닌 닫힌집합 이다.[ 1] :3 아핀 스킴 의 경우 소 아이디얼 에 대응한다.)
X
{\displaystyle X}
크룰 차원 은
X
{\displaystyle X}
I
0
⊊
I
1
⊊
⋯
I
n
−
1
⊊
I
n
{\displaystyle I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq \cdots I_{n-1}\subsetneq I_{n}}
의 길이들의 상한
n
∈
N
∪
{
+
∞
,
−
∞
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{+\infty ,-\infty \}}
[ 1] :5 공집합 인 경우), 크룰 차원은
−
∞
{\displaystyle -\infty }
보통, 스킴 의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환 의 스펙트럼 의 크룰 차원은
−
∞
{\displaystyle -\infty }
위상 공간
X
{\displaystyle X}
열린 덮개
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
dim
X
=
sup
i
∈
I
dim
U
i
{\displaystyle \dim X=\sup _{i\in I}\dim U_{i}}
가환환
R
{\displaystyle R}
가군
M
{\displaystyle M}
크룰 차원 은 다음과 같다.[ 2] :226
dim
R
M
=
dim
Spec
(
R
/
Ann
R
(
M
)
)
{\displaystyle \dim _{R}M=\dim \operatorname {Spec} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}
여기서
Ann
R
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)}
M
{\displaystyle M}
소멸자 이며,
Spec
{\displaystyle \operatorname {Spec} }
환의 스펙트럼 이다. 대수기하학 적으로, 이는
M
{\displaystyle M}
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
가군층 으로 여겼을 때, 그 지지 집합 의 차원에 해당한다.
가환환
R
{\displaystyle R}
소 아이디얼
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
높이 (영어 : height )
ht
R
p
{\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}
n
{\displaystyle n}
p
0
⊊
p
1
⊊
p
2
⊊
⋯
⊊
p
n
⊆
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}}
이는 국소화
R
p
{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}
dim
R
p
=
ht
R
p
{\displaystyle \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}
가환환
R
{\displaystyle R}
아이디얼
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
높이 (영어 : height )
ht
R
a
{\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
하한 이다.
ht
R
a
=
inf
a
⊆
p
∈
Spec
R
ht
R
p
{\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}=\inf _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}
(초른 보조정리 에 따라,
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
극대 아이디얼 이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)
대수기하학적으로, 이는
Spec
(
R
/
a
)
⊆
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R}
여차원 과 같다.
codim
R
(
R
/
a
)
=
ht
R
a
{\displaystyle \operatorname {codim} _{R}(R/{\mathfrak {a}})=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}}
R
{\displaystyle R}
가환환 이라고 하자. 만약
R
{\displaystyle R}
소 아이디얼 들
p
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}
진부분집합 의 사슬
p
0
⊊
p
1
⊊
p
2
⊊
⋯
⊊
p
n
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}
을 이룰 때, 음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
H
(
R
)
⊂
N
{\displaystyle H(R)\subset \mathbb {N} }
R
{\displaystyle R}
크룰 차원 은
H
(
R
)
{\displaystyle H(R)}
상한 이다.[ 1] :6
dim
R
=
sup
H
(
R
)
∈
N
⊔
{
∞
}
{\displaystyle \dim R=\sup H(R)\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}}
자명환 의 경우, 크룰 차원은
−
∞
{\displaystyle -\infty }
그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.
R
{\displaystyle R}
스펙트럼
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
R
{\displaystyle R}
가군 으로 여겼을 때,
R
{\displaystyle R}
가환환
R
{\displaystyle R}
동치 이다.
가환환
R
{\displaystyle R}
동치 이다.[ 2] :227, Corollary 9.1 [ 3] :90, Theorem 8.5
일반적인 가환환
R
{\displaystyle R}
dim
R
+
1
≤
dim
R
[
x
]
≤
2
dim
R
+
1
{\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1}
만약
R
{\displaystyle R}
뇌터 환 이라면, 다음이 성립한다.[ 2] :Corollary 10.13
dim
R
[
x
]
=
1
+
dim
R
{\displaystyle \dim R[x]=1+\dim R}
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.
대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
아핀 대수다양체
V
=
Spec
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
/
p
{\displaystyle V=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
소 아이디얼 )에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이다.[ 3] :124–125
V
{\displaystyle V}
d
{\displaystyle d}
V
{\displaystyle V}
비특이점 에서의 뇌터 국소환 의 크룰 차원이
d
{\displaystyle d}
V
{\displaystyle V}
유리 함수체
Γ
(
V
,
K
V
)
=
Frac
(
K
[
x
1
,
…
,
x
n
/
p
)
{\displaystyle \Gamma (V,{\mathcal {K}}_{V})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}/{\mathfrak {p}})}
K
{\displaystyle K}
초월 차수 가
d
{\displaystyle d}
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
/
p
{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}
힐베르트 다항식 이
d
{\displaystyle d}
대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
사영 대수다양체
V
=
Proj
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
/
p
{\displaystyle V=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
동치 이다.
V
{\displaystyle V}
d
{\displaystyle d}
V
{\displaystyle V}
비특이점 에서의 국소환 의 크룰 차원이
d
{\displaystyle d}
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
/
p
{\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}
K
{\displaystyle K}
초월 차수 가
d
+
1
{\displaystyle d+1}
뇌터 국소환
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
[ 3] :119
R
{\displaystyle R}
dim
R
{\displaystyle \dim R}
R
{\displaystyle R}
R
/
(
r
1
,
r
2
,
…
,
r
δ
)
{\displaystyle R/(r_{1},r_{2},\dots ,r_{\delta })}
자명환 이 아닌 아르틴 환 이 되는 아이디얼
(
r
1
,
…
,
r
δ
)
{\displaystyle (r_{1},\dots ,r_{\delta })}
δ
{\displaystyle \delta }
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
으뜸 아이디얼 이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수
P
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
ℓ
(
q
n
/
q
n
+
1
)
)
t
n
∈
Z
[
[
t
]
]
{\displaystyle P(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ell ({\mathfrak {q}}^{n}/{\mathfrak {q}}^{n+1}))t^{n}\in \mathbb {Z} [[t]]}
q
0
=
R
{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{0}=R}
ℓ
{\displaystyle \ell }
가군의 길이 ). 이는 항상 유리 함수 이며,
P
(
t
)
∈
Z
(
t
)
{\displaystyle P(t)\in \mathbb {Z} (t)}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
극점 의 차수를
d
{\displaystyle d}
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
이렇게 정의하면, 항상
dim
R
=
δ
=
d
<
∞
{\displaystyle \dim R=\delta =d<\infty }
이다.
정칙 국소환
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
[ 3] :123, Theorem 11.22
뇌터 국소환으로서의 차원
dim
R
{\displaystyle \dim R}
dim
R
/
m
(
m
/
m
2
)
{\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})}
dim
R
/
m
{\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}}
체
R
/
m
{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
벡터 공간 의 차원이다.
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
⨁
n
=
0
∞
m
n
/
m
n
+
1
≅
(
R
/
m
)
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
d
]
{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong (R/{\mathfrak {m}})[x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}]}
d
{\displaystyle d}
m
0
=
R
{\displaystyle {\mathfrak {m}}^{0}=R}
크룰 차원이
−
∞
{\displaystyle -\infty }
자명환 이다.
체 의 소 아이디얼 은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체 는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역 의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼 은 극대 아이디얼 이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역 의 크룰 차원은 1이다.
k
{\displaystyle k}
k
[
x
]
{\displaystyle k[x]}
주 아이디얼 정역 이므로
dim
k
[
x
]
=
1
{\displaystyle \dim k[x]=1}
dim
k
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
=
n
{\displaystyle \dim k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=n}
[ 1] :6
자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
가환환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
dim
Z
/
(
n
)
=
{
1
n
=
0
−
∞
n
=
1
0
n
≠
0
,
1
{\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}}
위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상 과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상 과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간 의 경우, 기약 집합은 한원소 집합 이며, 따라서 공집합 이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.
시에르핀스키 공간
X
=
{
0
,
1
}
{\displaystyle X=\{0,1\}}
T
=
{
∅
,
{
1
}
,
X
}
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\varnothing ,\{1\},X\}}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
가군 으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우
Ann
K
(
V
)
=
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {Ann} _{K}(V)=(0)}
Spec
(
K
/
(
0
)
)
=
Spec
K
{\displaystyle \operatorname {Spec} (K/(0))=\operatorname {Spec} K}
한원소 공간 으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.
체
K
{\displaystyle K}
다항식환
R
=
K
[
x
1
,
x
2
,
x
3
,
…
]
{\displaystyle R=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]}
를 생각하자. 임의의 증가 정수열
0
=
n
1
<
n
2
<
n
3
<
n
4
<
⋯
{\displaystyle 0=n_{1}<n_{2}<n_{3}<n_{4}<\cdots }
가 주어졌을 때, 소 아이디얼 들의 열
p
i
=
(
x
n
i
−
1
+
1
,
x
n
i
−
1
+
2
,
…
,
x
n
)
(
i
=
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots ,x_{n})\qquad (i=1,2,3,\dots )}
을 생각하자. 그렇다면
R
{\displaystyle R}
S
=
K
[
x
1
,
x
2
,
x
3
,
…
]
∖
⋃
i
=
1
∞
p
i
{\displaystyle S=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {p}}_{i}}
에 국소화 하면,
S
−
1
R
{\displaystyle S^{-1}R}
뇌터 환 이며, 그 크룰 차원은
dim
S
−
1
R
=
sup
{
n
i
−
n
i
−
1
:
i
∈
Z
+
}
{\displaystyle \dim S^{-1}R=\sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}}
이다. 만약
sup
{
n
i
−
n
i
−
1
:
i
∈
Z
+
}
=
∞
{\displaystyle \sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\infty }
나가타 마사요시 가 제시하였다.[ 4] :Appendix, Example E1 [ 2] :229, Exercise 9.6
![{\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a839c229cee1e25fde9203ba36de1d826d24c52)
![{\displaystyle \dim R[x]=1+\dim R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af103adde8bf94497ff712d6d99261521bd90ace)
![{\displaystyle V=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1379dbf5d8228c65b13b10aca099c19fb7a6d4)
![{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c9b16af1b3e7c1ae44b82f61b5da7f17074870)
![{\displaystyle V=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a811ede6efb6b74c73261f393bda7623818a717)
![{\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d96f5387896aade92bdd1e6d349a98b49f6b207)
![{\displaystyle P(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ell ({\mathfrak {q}}^{n}/{\mathfrak {q}}^{n+1}))t^{n}\in \mathbb {Z} [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a4780e5e6d59d74b67dbde8d10e532d3a5771e)
![{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong (R/{\mathfrak {m}})[x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522d09493e68f57e339ca93074bed4ca9dbeca0d)
![{\displaystyle k[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4915a37b1a02daf6efc009d5e99b8a911483bab0)
![{\displaystyle \dim k[x]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5090c994d3a375dd811b363d75a7e46520413b8c)
![{\displaystyle \dim k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981b087bd0095189beb2a625ae1369646ad16394)
![{\displaystyle R=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ff393b08fa3ece661ec2712a4dd1c32233a4d0)
![{\displaystyle S=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {p}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824cc29cd85e5cf4f02fabb4bca3f1975bb35508)
