수학 에서 이차 함수 (二次函數, 영어 : quadratic function )는 최고 차수가 2인 다항 함수 이다.
이차 함수 그래프의 예시
이차 함수 는 다음과 같은 꼴의 함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
단,
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
보다 일반적으로, 이변수 이차 함수 는 다음과 같은 꼴의 함수
f
:
R
2
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
f
:
C
2
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }
f
(
x
,
y
)
=
a
x
2
+
b
x
y
+
c
y
2
+
d
x
+
e
y
+
f
{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f}
단,
0
=
a
=
b
=
c
{\displaystyle 0=a=b=c}
보다 일반적으로,
d
{\displaystyle d}
f
:
R
d
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }
f
:
C
d
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{d}\to \mathbb {C} }
f
(
x
1
,
x
2
…
,
x
d
)
=
∑
i
=
1
d
∑
j
=
1
d
a
i
j
x
i
x
j
+
∑
k
=
1
d
b
k
x
k
+
c
=
a
11
x
1
2
+
a
12
x
1
x
2
+
⋯
+
a
1
d
x
1
x
d
+
a
21
x
2
x
1
+
a
22
x
2
2
+
⋯
+
a
2
d
x
2
x
d
+
⋯
+
a
d
1
x
n
x
1
+
a
n
2
x
n
x
2
+
⋯
+
a
d
d
x
d
2
+
b
1
x
1
+
b
2
x
2
+
⋯
+
b
d
x
d
+
c
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},x_{2}\dots ,x_{d})&=\sum _{i=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{d}b_{k}x_{k}+c\\&=a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots +a_{1d}x_{1}x_{d}\\&\qquad +a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots +a_{2d}x_{2}x_{d}\\&\qquad \qquad +\cdots \\&\qquad \qquad \qquad +a_{d1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots +a_{dd}x_{d}^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots +b_{d}x_{d}+c\\\end{aligned}}}
단,
0
=
a
11
=
⋯
=
a
d
d
{\displaystyle 0=a_{11}=\cdots =a_{dd}}
f
(
x
)
=
x
2
−
x
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}
이차 함수의 그래프 는 대칭축이 수직선인 포물선 이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.
반대로, 대칭축 이 수직선 인 모든 포물선 은 어떤 이차 함수의 그래프 이다.
이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
일반형 은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. 따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다.
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\qquad (a\neq 0)}
표준형 은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는
a
{\displaystyle a}
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
(
a
≠
0
)
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q\qquad (a\neq 0)}
인수 분해형 은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)
y
=
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
(
a
≠
0
)
{\displaystyle y=a(x-\alpha )(x-\beta )\qquad (a\neq 0)}
일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
−
4
a
c
4
a
=
a
(
x
−
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
)
(
x
−
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\\&=a\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}}
이차 함수
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
f
{\displaystyle f}
엄격 볼록 함수 이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
a
<
0
{\displaystyle a<0}
f
{\displaystyle f}
엄격 오목 함수 이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.또한,
|
a
|
{\displaystyle |a|}
f
{\displaystyle f}
이차 함수
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
f
(
0
)
=
c
{\displaystyle f(0)=c}
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
c
)
{\displaystyle (0,c)}
이차 함수
f
{\displaystyle f}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.
(
−
b
2
a
,
−
b
2
−
4
a
c
4
a
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}
꼭짓점은 이차 함수의 단조성 이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값 을 갖는 점이다.
a
{\displaystyle a}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
−
b
2
a
]
{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]}
[
−
b
2
a
,
∞
)
{\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}},\infty \right)}
f
{\displaystyle f}
f
(
−
b
2
a
)
=
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
−
b
2
a
]
{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]}
[
−
b
2
a
,
∞
)
{\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}},\infty \right)}
f
{\displaystyle f}
f
(
−
b
2
a
)
=
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
이차 함수
f
{\displaystyle f}
영점 , 즉 그래프와
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
α
,
β
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \alpha ,\beta ={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
구체적으로, 이차 함수
f
{\displaystyle f}
판별식
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle b^{2}-4ac>0}
f
{\displaystyle f}
α
≠
β
{\displaystyle \alpha \neq \beta }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
할선 이다.
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
f
{\displaystyle f}
α
=
β
=
−
b
2
a
{\displaystyle \alpha =\beta =-{\frac {b}{2a}}}
f
{\displaystyle f}
이중근 이라고 한다. 이때 그래프는
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
접선 이다.
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle b^{2}-4ac<0}
f
{\displaystyle f}
허근
α
≠
β
{\displaystyle \alpha \neq \beta }
x
{\displaystyle x}
이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리 라고 한다.
α
+
β
=
−
b
a
{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}}
α
β
=
c
a
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
이차함수
y
=
a
(
x
−
p
)
2
+
q
{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}
S
=
−
q
−
q
a
{\displaystyle S={-q}{\sqrt {-{\frac {q}{a}}}}}
이차함수
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
b
<
0
{\displaystyle b<0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
y
{\displaystyle y}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
![{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9857eb9141c1c24b505144531ea55ae536703ed6)
