항등 함수

수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

실수 항등 함수의 그래프

정의

집합 $X$의 항등 함수 $\operatorname {id} _{X}$는 다음과 같은 함수이다.

• $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\operatorname {id} _{X}(x)=x$

성질

임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f$

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, $X$의 자기 함수의 집합 $\operatorname {End} (X)$는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

증명:

임의의 $x\in X$에 대하여,

$(f\circ \operatorname {id} _{X})(x)=f(\operatorname {id} _{X}(x))=f(x)$

이므로,

$f\circ \operatorname {id} _{X}=f$

이다. 마찬가지로 임의의 $y\in Y$에 대하여,

$(\operatorname {id} _{Y}\circ f)(y)=\operatorname {id} _{Y}(f(y))=f(y)$

이므로,

$\operatorname {id} _{Y}\circ f=f$

이다.

임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 전단사 함수이다.
• 다음을 만족시키는 함수 $f^{-1}\colon Y\to X$가 존재한다. (이를 $f$의 역함수라고 한다.)
  • $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$
  • $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, $X$의 자기 전단사 함수의 집합 $\operatorname {Sym} (X)$은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 $X$의 대칭군이라고 한다.

예

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 $\mathbb {R}$의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념

(범주 속의) 항등 사상

범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.

항등 함자

범주 ${\mathcal {C}}$의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor) $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}$는 다음과 같은 함자이다.

• $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$
• 모든 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)=X$
• 모든 대상 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 및 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여, $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)=f$

만약 ${\mathcal {C}}$가 작은 범주일 경우, 항등 함자 $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}$는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ($\operatorname {id} _{\mathcal {C}}$는 함자):

모든 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여

$\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)}$

이며, 모든 대상 $X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y\to Z$에 대하여

$\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g)\circ \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)$

이므로, $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}$는 (공변) 함자이다.

항등 자연 변환

함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation) $\operatorname {id} _{F}$는 다음과 같은 자연 변환이다.

• $\operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F$
• 모든 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, $(\operatorname {id} _{F})_{X}=\operatorname {id} _{F(X)}$

만약 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 $\operatorname {id} _{F}$는 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$ 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ($\operatorname {id} _{F}$는 자연 변환):

모든 대상 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 및 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여,

$(\operatorname {id} _{F})_{Y}\circ F(f)=\operatorname {id} _{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ \operatorname {id} _{F(X)}=F(f)\circ (\operatorname {id} _{F})_{X}$

이므로, $\operatorname {id} _{F}$는 자연 변환이다.

같이 보기

• 포함 함수

외부 링크

• “Identity map”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Identity map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Identity function”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity natural transformation”. 《nLab》 (영어).