U-이중성

M이론에서 U-이중성(U-二重性, 영어: U-duality)은 S-이중성과 T-이중성에 의하여 생성되는, M이론의 이산 대칭군이다.

정의

M이론을 $1\leq n\leq 8$차원 원환면 $\mathbb {T} ^{n}$에 축소화하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 리 군 E_n(n)의 이산 부분군이다. (E_n(n)은 E_n의 갈린(영어: split) 비콤팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.^{:345–350,636:278–281}

축소화한 차원 수	Ⅱ종 초끈 이론 T-이중성군	초중력 U-이중성군	M이론 U-이중성군
1	1	E1(1)=SL(2;ℝ)	E1(1)(ℤ)=SL(2;ℤ)
2	1	E2(2)=SL(2;ℝ)×ℝ+	E2(2)(ℤ)=SL(2;ℤ)
3	O(2,2;ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(2;ℤ)	E3(3)=SL(2;ℝ)×SL(3;ℝ)	E3(3)(ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(3;ℤ)
4	O(3,3;ℤ)=SL(4;ℤ)	E4(4)=SL(5;ℝ)	E4(4)(ℤ)=SL(5;ℤ)
5	O(4,4;ℤ)	E5(5)=SO(5,5;ℝ)	E5(5)(ℤ)=SO(5,5;ℤ)
6	O(5,5;ℤ)	E6(6)	E6(6)(ℤ)⊂E6(6)
7	O(6,6;ℤ)	E7(7)	E7(7)(ℤ)⊂E7(7)
8	O(7,7;ℤ)	E8(8)	E8(8)(ℤ)⊂E8(8)

여기서 $n=1$인 경우는 ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성이다.

E_n의 부분군들

이들 U-이중성군 E_n(n)은 T-이중성군 $O(n-1,n-1;\mathbb {Z} )$과 $n$차원 원환면 $\mathbb {T} ^{n}$의 자기 동형군 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ 둘 다를 부분군으로 가진다. 즉, (실수 형식을 무시하면)

$E_{8}\supset O(14),SL(8)$

$E_{7}\supset O(12),SL(7)$

$E_{6}\supset O(10),SL(6)$

$E_{5}=O(10)\supset O(8),SL(5)$

$E_{4}=SL(5)\supset O(6)=SL(4),SL(4)$

$E_{3}=SL(2)\times SL(3)\supset O(4)=SL(2)\times SL(2),SL(3)$

$E_{2}=SL(2)\times U(1)\supset O(3)=SL(2),SL(2)$

$E_{1}=SL(2)\supset O(2)=U(1),SL(1)=1$

또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 행렬 이론으로 설명될 수 있다.^:636:§7

여기서, ${\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )$는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 리 군 ${\mathsf {E}}_{n(n)}$는 다음과 같은 두 부분군을 가진다.

$\operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {R} )$

$\operatorname {SL} (n;\mathbb {R} )$

이에 따라서, ${\mathsf {E}}_{n(n)}(\mathbb {Z} )$는 다음과 같은 두 이산 부분군의 합집합으로 생성되는 부분군이다.^:(4.10)

$\operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )\cup \operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )$

이 두 이산 부분군은 각각 다음과 같이 유래한다.

• $\operatorname {SL} (n;\mathbb {Z} )$는 M이론을 콤팩트화한 원환면 $\mathbb {T} ^{n}$의 (방향 보존) 사상류군이다. (M이론은 일반 상대성 이론을 포함하므로, 미분 동형 사상은 이론의 대칭이어야 한다.) 이는 특히 ⅡB 초끈 이론의 S-이중성 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$을 포함한다.
• $\operatorname {SO} (n-1,n-1;\mathbb {Z} )$는 $\mathbb {T} ^{n-1}$ 위에 콤팩트화한 ⅡA 초끈 이론의 T-이중성 대칭군이다.

역사

크리스토퍼 마이클 헐(Christopher Michael Hull)과 폴 킹즐리 타운젠드(Paul Kingsley Townsend)가 1995년 발견하고 명명하였다.

외부 링크

• “U-duality”. 《nLab》 (영어). 
• “U-duality — table”. 《nLab》 (영어). 
• Distler, Jacques (2007년 3월 22일). “Split real forms”. 《Musings》 (영어).