M이론에서 U-이중성(U-二重性, 영어: U-duality)은 S-이중성T-이중성에 의하여 생성되는, M이론의 이산 대칭군이다.

정의

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M이론을  차원 원환면  축소화하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 리 군 En(n)의 이산 부분군이다. (En(n)은 En의 갈린(영어: split) 비콤팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.[1]:345–350,636[2]:278–281[3][4]

축소화한 차원 수 Ⅱ종 초끈 이론 T-이중성 초중력 U-이중성군 M이론 U-이중성군
1 1 E1(1)=SL(2;ℝ) E1(1)(ℤ)=SL(2;ℤ)
2 1 E2(2)=SL(2;ℝ)×ℝ+ E2(2)(ℤ)=SL(2;ℤ)
3 O(2,2;ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(2;ℤ) E3(3)=SL(2;ℝ)×SL(3;ℝ) E3(3)(ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(3;ℤ)
4 O(3,3;ℤ)=SL(4;ℤ) E4(4)=SL(5;ℝ) E4(4)(ℤ)=SL(5;ℤ)
5 O(4,4;ℤ) E5(5)=SO(5,5;ℝ) E5(5)(ℤ)=SO(5,5;ℤ)
6 O(5,5;ℤ) E6(6) E6(6)(ℤ)⊂E6(6)
7 O(6,6;ℤ) E7(7) E7(7)(ℤ)⊂E7(7)
8 O(7,7;ℤ) E8(8) E8(8)(ℤ)⊂E8(8)

여기서  인 경우는 ⅡB 초끈 이론SL(2;ℤ) S-이중성이다.

 
En의 부분군들

이들 U-이중성군 En(n)은 T-이중성군   차원 원환면  자기 동형군   둘 다를 부분군으로 가진다. 즉, (실수 형식을 무시하면)

 
 
 
 
 
 
 
 

또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 행렬 이론으로 설명될 수 있다.[1]:636[5]:§7

여기서,  는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 리 군  는 다음과 같은 두 부분군을 가진다.

 
 

이에 따라서,  는 다음과 같은 두 이산 부분군의 합집합으로 생성되는 부분군이다.[5]:(4.10)

 

이 두 이산 부분군은 각각 다음과 같이 유래한다.

  •  M이론을 콤팩트화한 원환면  의 (방향 보존) 사상류군이다. (M이론일반 상대성 이론을 포함하므로, 미분 동형 사상은 이론의 대칭이어야 한다.) 이는 특히 ⅡB 초끈 이론의 S-이중성  을 포함한다.
  •    위에 콤팩트화한 ⅡA 초끈 이론의 T-이중성 대칭군이다.

역사

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크리스토퍼 마이클 헐(Christopher Michael Hull)과 폴 킹즐리 타운젠드(Paul Kingsley Townsend)가 1995년 발견하고 명명하였다.[6]

각주

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  1. Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John Henry (2006년 12월). 《String theory and M-theory: a modern introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 13일에 확인함. 
  2. Johnson, Clifford V. (2003). 《D-Branes》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511606540. ISBN 9780521809122. 
  3. Mizoguchi, Shun’ya; Schröder, Germar (2000년 2월 21일). “On discrete U-duality in M-theory”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (4): 835–870. arXiv:hep-th/9909150. Bibcode:2000CQGra..17..835M. doi:10.1088/0264-9381/17/4/308. ISSN 0264-9381. 
  4. Malek, Emanuel (2012). “U-duality in three and four dimensions” (영어). arXiv:1205.6403. Bibcode:2012arXiv1205.6403M. 
  5. Obers, N. A.; Pioline, B. (1999). “U-duality and M-theory” (영어) 318: 113–225. arXiv:hep-th/9809039. doi:10.1016/S0370-1573(99)00004-6. 
  6. Hull, Christopher Michael; Paul Kingsley Townsend (1995년 3월 27일). “Unity of superstring dualities”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 438 (1–2): 109–137. arXiv:hep-th/9410167. Bibcode:1995NuPhB.438..109H. 

외부 링크

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