모듈러 군

(SL(2;ℤ)에서 넘어옴)

수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 .

정의

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모듈러 군  는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다.

 

즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군자유곱이다.

 

성질

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모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심자명군이다.

상반평면 위의 작용

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모듈러 군은 상반평면  유리 함수작용한다. 이 경우 생성원  ,  의 작용은 다음과 같다.

 
 

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.

 . ( )

이 경우 행렬  의 작용이 같으므로, 이는  의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(영어: fundamental domain)은 다음과 같다.

 
 

보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구

 

위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선   위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다.

  •   (허수 성분이 양수인 복소수)
  •   (초월수)
  •   (대수적 무리수)
  •   (유리수 및 무한대)

유리수체 위의 작용

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모듈러 군은 유리수 사영 직선   위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자.

 

그렇다면, 그 위에  의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

 

이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉,  다. 따라서,  일 때

 

이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의  에 대하여, 항상   이 존재한다.

이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자.

 
 
 

즉,  를 약분 불가능 분수  로 간주하자. 물론  이므로, 이는  몫군  의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다.

이 작용 아래   의 작용은 다음과 같다.

 
 

이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.

꼬임군과의 관계

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모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군  이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

 

여기서  2차원 실수 특수선형군범피복군이며,  무한 순환군(정수의 덧셈군)이다.

합동 부분군

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모듈러 군은 합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된)  을 부분군으로 가지는  의 부분군  이다. 이 경우, 이러한 최소  을 합동 부분군  준위(영어: level 레벨[*], 독일어: Stufe 슈튜페[*])라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는  ,  ,  이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

 

모듈러 군 Γ(N)

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모듈러 군  주합동 부분군(主合同部分群, 영어: principal congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다.  가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를  에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

 

군 준동형레벨 N의 주합동 부분군  이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

 

구체적으로,  은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

 

에 대하여,

 
 

특히,  Λ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이 경우  은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉,  지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ1(N)

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모듈러 군 Γ1(N) 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

 

에 대하여,

 
 

모듈러 군 Γ0(N)

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모듈러 군 Γ0(N) 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

 

에 대하여,

 

즉, 위와 같이  와 같은 군 준동형에서, 상삼각행렬인 원소들이다.   의 부분군이다.

참고 문헌

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외부 링크

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같이 보기

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