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2차원 실수 특수선형군

2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, 영어: 2×2 real special linear group) 는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간로런츠 군으로 여길 수 있다.

정의편집

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

  • 2×2 실수 특수선형군  
  • 2×2 실수 심플렉틱 군  
  • 부정부호 특수 유니터리 군  
  • 분할 사원수 대수(영어: split-quaternion algebra)  에서, 절댓값을  로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
  • 3차원 스핀 군  

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

  • 2×2 실수 사영 특수선형군  . 이는  에서, 중심  에 대한 몫군이다.
  • 복소수 단위 원판  의 등각 자기 동형군  
  • 뫼비우스 변환   가운데, 복소수 상반평면  을 보존하는 부분군
  • 실수 사영 직선  방향 보존 사영 변환군
  • 3차원 로런츠 군의 연결 성분  

실수 사영 직선 위의 작용편집

 는 실수 사영 직선   위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

 
 

상반평면 위의 작용편집

 는 복소수 상반평면   위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

 
 

이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.

딸림표현편집

 는 3차원 리 군이며, 따라서   위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

 
 

이는 단사 함수이다.

 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는  로런츠 군   사이의 동형을 정의한다.

성질편집

켤레류편집

 의 임의의 원소  는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.

  •  인 경우:  ,  . 이러한 경우를 타원형 원소(楕圓型元素, 영어: elliptic element)라고 한다.
  •  인 경우:  ,  . 이러한 경우를 포물선형 원소(抛物線型元素, 영어: parabolic element)라고 한다.
  •  인 경우:  , . 이러한 경우를 쌍곡선형 원소(雙曲線型元素, 영어: hyperbolic element)라고 한다.

대수학적 성질편집

 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.

 중심 이며, 이에 대한 몫군  단순군이다.  이산 부분군푹스 군이라고 하며, 모듈러 군  이 대표적인 예이다.

원군   의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은  의 극대 콤팩트 부분군이다.

위상수학적 성질편집

  는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로,  는 상반평면  의 접다발   속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다.  는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

 축약 가능 공간이며, 따라서   는 원  호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다.

 

범피복 공간  에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.

표현론편집

유한 차원 표현편집

 의 유한 차원 표현론은  의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수  에 대하여  차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 ( 인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.

무한 차원 표현편집

 의 무한 차원 표현론은  의 경우와 전혀 다르다.  의 무한 차원 기약 허용 표현(영어: admissible representation)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.

  • 모든 0이 아닌 정수  에 대하여, 이산열 표현(離散列表現, 영어: discrete series representation)  
  • 이산열 표현의 극한  ,  
  • 주열 표현(主列表現, 영어: principal series representation)  ,  ,  ,  .   와 동형이다.

이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.

  • 모든 이산열 표현   및 극한  
  • 주열 표현  ,  
  • 주열 표현  ,  

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집