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에탈 코호몰로지

대수기하학에서, 에타일 코호몰로지(영어: étale cohomology)는 스킴 위에서 정의되는 코호몰로지이다.[1][2][3][4][5] 스킴의 경우, 자리스키 위상을 사용하면 표준적인 코호몰로지 이론(특이 코호몰로지, 체흐 코호몰로지)들은 잘 작동하지 않는데, 에탈 코호몰로지는 에탈 위상을 사용하여 이러한 단점들을 보완한다.

정의편집

에탈 코호몰로지작은 에탈 위치층 코호몰로지이다. 즉, 아벨 군 값을 갖는, 작은 에탈 위치   위의 에탈 층  에탈 코호몰로지 군  는 단면 함자(영어: section functor)

 
 

 번째 오른쪽 유도 함자이다.

 

특히,

 

이다.

스킴  아벨 군  가 주어졌을 때,    계수를 갖는 에탈 코호몰로지 군  상수층  의 에탈 코호몰로지 군  이다. (다만,  일 때, 통상적으로   과 다른, ℓ진 코호몰로지를 나타낸다.)

작은 에탈 코호몰로지 대신에, 큰 에탈 위치 위의 층 코호몰로지인 큰 에탈 코호몰로지를 생각할 수도 있다. 그러나 작은 에탈 층  의 코호몰로지를 큰 에탈 위치에서 계산할 경우, 이는 작은 에탈 위치에서 계산한 코호몰로지와 일치하며, 반대로 큰 에탈 층의 코호몰로지를 작은 에탈 위치에서 계산하여도 서로 일치한다.[6]:110, Proposition III.3.1(c); 111, Remark III.3.2(a) 즉, 코호몰로지를 계산하려면 편리한 대로 작은 위치나 큰 위치를 사용할 수 있으며, 보통 작은 에탈 위치가 더 다루기 편리하므로 작은 에탈 위치를 사용한다.

ℓ진 코호몰로지편집

위와 같이, 작은 에탈 위치에서 층 코호몰로지를 정의하면 유한체 계수의 코호몰로지를 얻을 수 있다. 그러나 정수 계수의 층 코호몰로지는 자명하며, 위상수학적으로 유용한 정보를 제공하지 못한다. 대신 각 유한체 계수의 코호몰로지들을 짜깁기하여 정수 계수 위상수학적 코호몰로지를 근사할 수 있는데, 이를 ℓ진 코호몰로지(영어: ℓ-adic cohomology)라고 한다.

소수  에 대하여, 대수다양체   진 코호몰로지 군  은 다음과 같은 역극한이다.

 

좌변에서  ℓ진 정수환  를 상징한다. (물론, 이는 우변에 등장하지 않는다.)

ℓ진 코호몰로지는 (이름과 달리) ℓ진 정수  상수층 계수의 에탈 위치 층 코호몰로지  와 일반적으로 다르다. 즉, 역극한은 층 코호몰로지와 가환하지 않는다.

ℓ진 코호몰로지는 유한체에 대한 대수다양체에 대하여 널리 사용된다. 이 경우,  은 유한체의 표수  와 다른 소수이다.

성질편집

특이 코호몰로지와의 관계편집

 가 비특이 복소수 대수다양체이고,  이 대응하는 복소다양체라고 하자. 그렇다면, 유한체   계수의 에탈 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 일치한다.

 

마찬가지로,  진 코호몰로지는 p진 정수   계수의 특이 코호몰로지와 일치한다.

 

하지만 정수 계수의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 특이 코호몰로지와 다르다.

갈루아 코호몰로지와의 관계편집

 에 대하여, 그 스펙트럼  의 에탈 코호몰로지는 그 갈루아 코호몰로지와 일치한다.

 

여기서   절대 갈루아 군이며,   분해 가능 폐포이며, 우변의  군 코호몰로지이다.

역사편집

알렉산더 그로텐디크가, 유한체에 대한 대수다양체에 대한 일련의 추측들인 베유 추측을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.[7]

참고 문헌편집

  1. Fu, Lei (2011). 《Etale cohomology theory》. Nankai Tracts in Mathematics (영어) 13. World Scientific. ISBN 978-981-4307-72-7. Zbl 1228.14001. doi:10.1142/7773. 
  2. Tamme, Günter (1994). 《Introduction to étale cohomology》. Universitext (영어). 번역 Kolster, Manfred. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-57116-2. ISSN 0172-5939. Zbl 0815.14012. doi:10.1007/978-3-642-78421-7. 
  3. Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). 《Etale cohomology and the Weil conjecture》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 13. Springer-Verlag. ISBN 978-3-662-02543-7. ISSN 0071-1136. Zbl 0643.14012. doi:10.1007/978-3-662-02541-3. 
  4. Deligne, Pierre (1977). 《Cohomologie étale (Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 4½)》 (PDF). Lecture notes in mathematics (프랑스어) 569. Springer. ISBN 978-0-387-08066-6. doi:10.1007/BFb0091516. 
  5. Ducros, Antoine (2011). “Étale cohomology of schemes and analytic spaces” (영어). Bibcode:2011arXiv1101.0683D. arXiv:1101.0683. 
  6. Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》. Princeton Mathematics Series (영어) 33. Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7. Zbl 0433.14012. 
  7. Grothendieck, Alexander (1960). 〈The cohomology theory of abstract algebraic varieties〉. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, 1958)》 (영어). Cambridge University Press. 103–118쪽. MR 0130879. 

외부 링크편집