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보렐 부분군

(보렐 부분 대수에서 넘어옴)

대수군 이론에서, 보렐 부분군(Borel部分群, 영어: Borel subgroup)은 대수군극대 가해 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

정의 1편집

 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.

이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소보렐 부분군이라고 한다.[1]:190, Definition 7.4.1.1

대수군  의 부분 대수군 가운데,  의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다.

정의 2편집

 부분군   가운데, 잉여류 공간   -완비 대수다양체를 이루는 것을  포물형 부분군이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소보렐 부분군이라고 한다.

성질편집

보렐 부분군은 켤레 아래 유일하다.[1]:190, Theorem 7.4.1.1 즉, 대수적으로 닫힌 체   위의 대수군  의 임의의 두 보렐 부분군  가 주어졌을 때,

 

가 되는  가 존재한다.

보렐 부분 리 대수편집

  위의 반단순 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소 보렐 부분 리 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다.

 일 때, 유한 차원  -반단순 리 대수   및 그 보렐 부분 리 대수  를 생각하자. 그렇다면,  를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군  에 대하여,  의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는  와 동형이다.

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자명한 경우편집

대수적으로 닫힌 체   위의 가해 연결 대수군  의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은   자신이다. 이 경우  는 자명하게  -완비 대수다양체를 이룬다.

일반 선형군편집

대수적으로 닫힌 체   위의 일반 선형군  을 생각하자. 그 위의 가역 상삼각 행렬들의 부분군

 

 의 보렐 부분군이다.

이 경우  기 대수다양체이다.

표준 보렐 부분 리 대수편집

복소수체 위의 반단순 리 대수  를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.

  • 카르탕 부분 대수  
  • 양근 집합  

그렇다면, 멱영 리 대수

 

를 정의할 수 있다. 이 경우   표준 보렐 부분 리 대수(標準Borel部分Lie代數, 영어: standard Borel subalgebra)라고 하며, 이는  의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

역사편집

아르망 보렐이 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Procesi, Claudio (2007). 《Lie groups: an approach through invariants and representations》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISSN 0172-5939. doi:10.1007/978-0-387-28929-8. 
  2. Borel, Armand (1956). “Groupes linéaires algébriques”. 《Ann. of Math.》 (프랑스어) 64 (1): 20–82. MR 93006. Zbl 0070.26104. 

외부 링크편집