해다양체

미분위상수학에서 해다양체(解多樣體, 영어: solvmanifold)는 가해 리 군의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 해다양체라고 한다.

• 가해 리 군에 대한 동차공간이다.
• 연결 가해 리 군의 닫힌 부분군에 대한 몫공간이다.

성질

모든 해다양체는 콤팩트 해다양체 위의 벡터 다발과 미분 동형이다. (이는 조지 모스토가 추측하였고, 루이스 오슬랜더(영어: Louis Auslander)와 리처드 톨미에리(영어: Richard Tomlieri)가 1970년에 증명하였다.)

같은 기본군을 갖는 콤팩트 해다양체는 서로 미분 동형이다. 군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\pi _{1}(M)\cong G$인 해다양체 $M$이 존재한다.
• 자유 아벨 군의, 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군에 대한 확대이다. 즉, $1\to N\to G\to \mathbb {Z} ^{\oplus k}\to 1$이 되는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군 $N$ 및 자연수 $k\in \mathbb {N}$가 존재한다.

특히, 해다양체의 기본군은 다순환군(영어: polycyclic group)이다.

모든 해다양체는 비구형 공간(영어: aspherical space)이다. 즉, 해다양체 $X$의 모든 2차 이상 호모토피 군은 자명군이다.

$\pi _{n}(X)=1\qquad (n=2,3,\dots )$

콤팩트 동차공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 해다양체이다.
• 비구형 공간이며, 그 기본군은 가해군이다.

예

멱영 리 군은 가해 리 군이므로, 모든 영다양체는 해다양체이다. 특히, 모든 원환면은 해다양체이다.

클라인 병은 영다양체가 아닌 해다양체이다. 뫼비우스 띠는 비콤팩트 해다양체의 예이며, 이는 (자명하게 해다양체인) 원 위의 자명하지 않은 실수 선다발이다.

2차원 푸앵카레 군 $\operatorname {ISO} ^{+}(1,1)\cong \mathbb {R} ^{2}\rtimes \mathbb {R}$은 3차원 가해 리 대수이며, 콤팩트 몫공간을 갖는다. 이 몫공간들은 콤팩트 해다양체의 예이다. 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하들 가운데 하나이다.

참고 문헌

• Auslander, Louis (1973). “An exposition of the structure of solvmanifolds. Part I: algebraic theory”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 79 (2): 227–261. doi:10.1090/S0002-9904-1973-13134-9. 
• Auslander, Louis (1973). “An exposition of the structure of solvmanifolds. Part II: G-induced flows”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 79 (2): 262–285. doi:10.1090/S0002-9904-1973-13139-8. 

외부 링크

• “Solv manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Solv manifold, compact”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 가해 리 대수
• 영다양체
• 기하화 추측