매끄러운 다양체 , 및 매끄러운 매장 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 법다발
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으로 잡을 수 있다.
의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을 라고 하자. 이는 포함 관계
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를 갖는다. 위에 위상을 부여할 수 있다. 만약 과 이 추가로 콤팩트 공간이라면, 그 부분 공간 는 축약 가능 공간이다.[1]:Proposition 31 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다.
두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 매장 의 관상 주변
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이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 다음과 같은 연속 함수이다.
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이는 물론 몫공간에 대한 표준적 전사 함수이다. 그 공역 은 정의에 따라 법다발의 톰 공간 과 위상 동형이며, 이 위상 동형의 호모토피류는 표준적이다.
특히, (초구)인 경우를 생각하자. 휘트니 매장 정리에 따라서, 모든 차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구 속의 매장
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을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 호모토피 군의 원소
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를 정의한다. 법다발은 의 구조를 가지므로, 분류 공간 로 가는, 법다발을 분류하는 사상 을 찾을 수 있다. 즉,
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이다.
선형 포함 관계
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의 알렉산드로프 콤팩트화
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에 따라, 이는 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라는 어떤 스펙트럼의 안정 호모토피 군의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장 에 의존하지 않으며, 의 보충 경계에 대한 모든 정보를 담고 있다 (톰 정리 영어: Thom’s theorem).
- ↑ Godin, Veronique (2007). “Higher string topology operations” (영어). arXiv:0711.4859.