균형 집합

선형 대수학과 수학의 관련 분야에서, (절대값 함수 $|\cdot |$를 가지는 체 K의) 벡터공간 균형 집합, 원형 집합 또는 디스크는 $|\alpha |\leqslant 1$인 모든 스칼라 $\alpha$에 대해서 다음이 성립하는 집합 S이다;

$\alpha S\subseteq S$

이때;

$\alpha S:=\{\alpha x\mid x\in S\}.$

집합 S의 균형 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 균형 집합이다. 이것은 S를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다.

예시

• 노름 공간의 0을 중심으로 하고 열린 그리고 닫힌 공은 균형 집합이다.
• 실 또는 복소 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.
• 균형 집합들의 데카르트 곱은 대응하는 (같은 체 K에 있는) 벡터 공간의 곱공간에서 균형 집합이다.
• 복소수의 체 $\mathbb {C}$를 1차원 벡터 공간의으로 생각하자. 그 균형 집합은 $\mathbb {C}$ 자체, 공집합과 영을 중심으로 하는 열린 그리고 닫힌 원판이다. 이와 달리, 이차원 유클리드 공간에서 더 많은 균형 집합이 존재한다: 원점을 중심으로 하는 모든 선분도 가능하다. 따라서, $\mathbb {C}$와 $\mathbb {R} ^{2}$는 그 벡터 공간 구조에 관해서 전적으로 다르다.
• $p$가 선형 공간 $X$의 반노름이면, $c>0$인 모든 상수에 대해서 다음 집합은 균형 집합이다.

$\{x\in X\mid p(x)\leqslant c\}$

특성

• 균형 집합의 합집합과 교집합은 균형 집합이다.
• 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.
• $\{0\}$과 균형 집합의 내부의 합집합은 균형 집합이다.
• 어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다

같이 보기

• 별모양 영역

참고 문헌

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 4쪽. 
• W. Rudin (1990). 《Functional Analysis》 2판. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054236-8. 
• H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM 3. Springer-Verlag. 11쪽. ISBN 0-387-05380-8.