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그로텐디크 아벨 범주

호몰로지 대수학에서, 그로텐디크 아벨 범주(Grothendieck Abel範疇, 영어: Grothendieck Abelian category)는 특별히 좋은 성질을 가져, 호몰로지 대수학을 전개하기 간편한 아벨 범주이다.

정의편집

AB5 아벨 범주(AB5 Abel範疇, 영어: AB5 Abelian category)는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.

  • 쌍대 완비 범주이다.
  • 완전열여과 쌍대 극한(영어: filtered colimit)이 존재하며, 완전열을 이룬다. 즉, 상향 원순서 집합  의 첨자를 가진 짧은 완전열 이 주어졌을 때, 그 쌍대 극한  이 존재하며 역시 짧은 완전열을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)

쌍대 완비 아벨 범주에서 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이는 생성 집합  를 갖는 쌍대 완비 아벨 범주의 경우,  쌍대곱

 

생성 대상을 이루기 때문이다.

그로텐디크 아벨 범주  생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상  가 존재한다.

  •  충실한 함자이다.

성질편집

모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.

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1을 가진  에 대한 왼쪽 가군들과 가군 준동형들의 범주   (또는 오른쪽 가군들의 범주  )은 그로텐디크 아벨 범주이다.

임의의 위치   위의, 아벨 군 값의 의 범주  는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

임의의 환 달린 공간   위의 가군층들의 범주  는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 만약  가 추가로 스킴을 이룬다면, 준연접층의 범주   역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

역사편집

1957년에 알렉산더 그로텐디크[1]범주가 만족시킬 수 있는 일련의 조건들 AB1~AB6들을 정의하였다. 이 가운데, AB1 및 AB2를 만족시키는 범주는 오늘날 "아벨 범주"로 불리며, AB1~AB3를 만족시키는 범주는 쌍대 완비 아벨 범주와 같은 개념이다. AB5는 AB4, AB3을 함의하며, 이 때문에 AB5 공리를 만족시키는 아벨 범주를 "AB5 아벨 범주"라고 한다. 같은 논문에서 그로텐디크는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주임을 증명하였으며,[1]:135, Théorème 1.10.1 이 때문에 이러한 범주가 "그로텐디크 범주"로 불리게 되었다.

가브리엘-포페스쿠 정리는 1964년에 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2005)과 니콜라에 포페스쿠(루마니아어: Nicolae Popescu, 1937~2010)가 증명하였다.[2] (이 논문은 포페스쿠의 이름에 "Popesco"로 오타를 포함한 채 인쇄되었다.)

참고 문헌편집

  1. Grothendieck, Alexandre (1957). “Sur quelques points d’algèbre homologique”. 《東北数学雑誌》 (프랑스어) 9: 119–221. ISSN 0040-8735. MR 0102537. Zbl 0118.26104. doi:10.2748/tmj/1178244839. 
  2. Gabriel, Pierre; Popesco, Nicolae (1964년 4월 27일). “Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 258: 4188–4190. MR 0166241. 

외부 링크편집