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대수기하학복소기하학에서, 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층벡터 다발(국소 자유층)의 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

목차

정의편집

환 달린 공간   위에서, 다음 조건들을 만족시키는  -가군층  국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 층의 완전열  이 존재하게 되는 열린 근방  기수  가 존재한다.

환 달린 공간   위에서, 다음 조건들을 만족시키는  -가군층  준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층이라고 한다.[1]:45, (5.1.3)

  • 임의의  에 대하여, 층의 완전열  이 존재하게 되는 열린 근방  기수  가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수  자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

성질편집

함의 관계편집

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접층[1]:47, (5.3.2) 유한 표시 가군층[1]:46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층[1]:48, (5.4.1)

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[2]

유한 계수 국소 자유 가군층[1]:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건편집

스킴   위의 가군층  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  는 준연접 가군층이다.
  • 임의의 아핀 열린 부분 스킴  에 대하여,   -가군층으로서 어떤  -가군으로부터 유도된  -가군층과 동형이다.
  •  의 어떤 아핀 열린 덮개  에 대하여,   -가군층으로서 어떤  -가군으로부터 유도된  -가군층과 동형이다.

연산편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 스킴  ,  
  • 스킴 사상  

그렇다면,   위의 준연접층  의 당김    위의 준연접층이다. 반대로,   위의 준연접층  가 주어졌으며,  준콤팩트 준분리 사상이라면  의 밂    위의 연접층이다.

준연접층의 범주편집

일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주  는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약  스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

즉,  에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다.  에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에  를 가한 것이다.

아핀 스킴 위의 준연접층편집

가환환   위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.

  •  -가군의 범주  
  •  스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주  

구체적으로,  -가군  에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층  이다.

  • 임의의  에 대하여,  

여기서

 

 로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼 열린집합을 정의한다. 반대로,   위의 준연접 가군층  에 대응하는  -가군 이다.

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스킴  닫힌 부분 스킴  에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히,   전체에 대응하는 영 준연접층  은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합  에 대응하는 구조층   역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.)

 의 스펙트럼   위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두  -벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원  -벡터 공간이다.)

이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층편집

이산 값매김환  스펙트럼  시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼  에 대응하며, 이는 잉여류체  에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼  에 대응하며, 이는 분수체  에 해당한다.

시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층을 이룬다.

  위의 임의의 가군 (준)층  는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  . 이는  -가군이다.
  •  . 이는  -벡터 공간이다.
  •  의 제약 사상  . 이는  -선형 변환이다.

즉,   위의 가군층은 위와 같은  로 주어진다.

아핀 스킴   위의 준연접 가군층은  -가군  만으로 주어진다. 이 경우,  의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라)  이다. 즉,  -가군층   가운데 준연접층인 것은   -벡터 공간동형 사상인 것이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집