극대 아이디얼

환론에서 극대 아이디얼(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의

극대 부분 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 극대 부분 가군(極大部分加群, 영어: maximal submodule)이라고 한다.

• $N\neq M$이며, $M$의 임의의 부분 가군 $N'\subseteq M$에 대하여, 만약 $N'\supseteq N$이라면 $N'=M$이거나 $N'=N$이다. 즉, $N$은 부분 순서 집합 $\operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}$의 극대 원소이다. (여기서 $\operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}$은 $M$의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
• 몫가군 $M/N$은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 $_{R}M$의 극대 부분 가군들의 집합을 $\operatorname {Max} (_{R}M)$이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 근기라고 한다.

극대 아이디얼

환 $R$가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 $_{R}R$의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, $_{R}R$의 극대 부분 가군을 극대 왼쪽 아이디얼(영어: maximal left ideal)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 ${\mathfrak {M}}\neq R$이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 $R$의 임의의 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {A}}$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {M}}\subseteq {\mathfrak {A}}$라면 ${\mathfrak {A}}=R$이거나 ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {M}}$이라는 것이다. 마찬가지로 극대 오른쪽 아이디얼(영어: maximal right ideal)은 1차 자유 오른쪽 가군 $R_{R}$의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 국소환이라 한다.

가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\subseteq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다.

• 극대 왼쪽 아이디얼이다.
• 극대 오른쪽 아이디얼이다.
• $R/{\mathfrak {m}}$은 체이다.
• 환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$의 자리스키 위상에서, $\{{\mathfrak {m}}\}$은 닫힌 집합이다.

즉, $\operatorname {Max} R\subseteq \operatorname {Spec} R$는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.

성질

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

존재

크룰 정리(영어: Krull’s theorem)에 따르면, 환 $R$ 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 $_{R}M\neq 0$은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, $\operatorname {Max} (_{R}M)$은 공집합이 아니다.

증명:

초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Sub} (_{R}M)\setminus \{M\}$에 대하여,

$A=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S$

를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.

• $A$는 $M$-부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
  • 증명: 임의의 $a,a'\in A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $a\in S$ 및 $a'\in S'$이 되는 $S,S'\in {\mathcal {S}}$를 찾을 수 있다. 그렇다면 $a,a'\in \max\{S,S'\}$이므로 $a+a'\in \max\{S,S'\}\subseteq A$이다.
• $A\neq M$이다.
  • 증명: $M$이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, $Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M$이 되는 $m_{1},\dots ,m_{k}\in M$을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 $A=M$이라면, $m_{i}\in S_{i}$가 되는 $S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {S}}$를 찾을 수 있는데, 이 경우 $M=\max\{S_{1},\dots ,S_{k}\}\in {\mathcal {S}}$이 되며, 이는 모순이다.

또한, 환 $R$ 위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 $_{R}M\neq 0$은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 $_{R}M$은 그 사영 덮개 $_{R}P$의 잉여적 부분 가군 $S\subseteq P$에 대한 몫가군 $M\cong P/S$이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, 자유 왼쪽 가군 $_{R}R$는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, $R$가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, $R$는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

환 $R$의 모든 왼쪽 가군 $_{R}M$이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다.

• 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.^{:Corollary 1.1}
• $M$의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.)

예

정수환 $\mathbb {Z}$의 극대 아이디얼들은 소수 $p$에 대한 주 아이디얼 $(p)$이다.

체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 $\{0\}$밖에 없다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 유한 차원 다항식환 $K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]$의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다.

$(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{k}-a_{k})\qquad (a_{1},\dots ,a_{k}\in K)$

극대 부분 가군을 갖지 않는 가군

정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 가군 $_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

역사

크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.

외부 링크

• “Maximal ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Maximal ideal”. 《nLab》 (영어). 
• “Maximal ideal theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Maximal spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Maximal ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Maximal ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Maximal implies prime”. 《Commalg》 (영어). 
• “Every proper ideal is contained in a maximal ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Definition: maximal ideal”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: maximal spectrum of ring”. 《ProofWiki》 (영어).