수심 (기하학)

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기하학에서, 수심(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다.[1][2][3]

수심

정의편집

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변  ,  ,  수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형  수심  라고 한다.

증명 (원주각을 통한 증명):

꼭짓점  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  라고 하고, 두 수선  ,  의 교점을  라고 하자. 그렇다면

 

이므로  ,  는 선분  를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분  를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히  ,  ,  ,  는 한 원 위의 점이며, 점  ,  ,  ,   역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라

 

이다. 따라서

 

이며,   의 수선이다.

증명 (외심과 무게 중심을 통한 증명):[2]:17, §2.1

정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형  의 외심을  , 무게 중심 , 변  중점 라고 하자. 그렇다면  이다. 유향 선분  의 연장선 위에서  인 점  를 잡자. 그렇다면  는 선분   위의 점이며  ,  이므로, 삼각형   닮음이다. 특히  이므로   는 평행하며,   의 수선이므로   역시 변  의 수선이다. 마찬가지로  ,  는 각각 변  ,  의 수선이다.

증명 (근축을 통한 증명):[1]:38, §2.4

꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 변  ,  를 지름으로 하는 두 원은 두 점  ,  에서 만나므로 두 원의 근축은 직선  이다. 마찬가지로, 변   를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선  이며, 변  ,  를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선  이다. 따라서 세 직선  ,  ,  는 세 원의 근심에서 만난다.

증명 (체바 정리를 통한 증명):

꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면

 

이므로 체바 정리에 따라 직선  ,  ,  는 한 점에서 만난다.

성질편집

예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.

외접원과의 관계편집

삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.[2]:23, §2.4

삼각형  의 수심  를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 수선  ,  ,  의 연장선과 외접원의 교점을  ,  ,  이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[2]:18, §2.2

 
 
 

증명:

원주각의 성질에 따라

 

이므로  이다.   의 수선이므로  는 선분  의 중점이다.

삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다.

삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다.[2]:71, §7.4, (ix) 삼각형  의 수심을  , 외심을  라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:37, §2.4, (2.42)

 
 
 

증명:

 를 지나는 외접원의 지름을  이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라

 

이다. 따라서

 

이다.

삼각형  의 세 변의 길이를  ,  ,  , 반둘레를  , 외접원의 반지름을  , 내접원의 반지름을  라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심  , 내심  , 수심  를 잇는 삼각형  의 넓이는 다음과 같다.[4]:2, §1.1.1, Theorem B1

 

수선편집

삼각형  의 수심을  라고 하고, 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 외접원의 반지름을  라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:36, §2.4, (2.41)

 
 
 

삼각형  의 수심을  라고 하고, 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[2]:19, §2.2, (b)[1]:37, §2.4, (2.44)

 
 
 
 

증명:

수선  의 연장선과 외접원의 교점을  이라고 하자. 그렇다면 점  를 지나는 외접원의 두 현  ,  에 대한 방멱 정리에 따라

 

이다.

 ,  ,  ,  는 한 원 위의 점이므로, 점  를 지나는 두 현   에 대한 방멱 정리에 따라

 

이다.

마지막 등식에 따라, 삼각형  의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원근축은 수심  를 지난다.[1]:38, §2.4, Theorem 2.45 삼각형  의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원근심은 수심  이다.[1]:38, §2.4, Theorem 2.46 삼각형   및 직선  ,  ,   위의 점  ,  ,  가 주어졌다고 하자. 만약  ,  ,  가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형  ,  ,  ,  의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분  ,  ,  를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.[1]:39, §2.4, Theorem 2.47

오일러 직선과 구점원편집

삼각형  의 수심  , 무게 중심  , 외심  는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.

 

만약 삼각형  가 정삼각형이라면,  이다. 만약 삼각형  가 정삼각형이 아니라면, 수심  , 무게 중심  , 외심  를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형  오일러 직선이라고 한다.

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발  ,  ,  , 변  ,  ,  의 중점  ,  ,  , 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분  ,  ,  의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 구점원이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다.

삼각형  의 구점원의 중심  은 무게 중심과 외심을 잇는 선분  의 중점이다. 특히 삼각형  가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심  은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.

삼각형   및 외접원 위의 점  가 주어졌다고 하자. 점  와 수심  를 잇는 선분  의 중점은 삼각형  에 대한 점  심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다.[2]:47, §5.3 특히 점  를 각 변  ,  ,  에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심  를 지난다.[2]:43, §5.1

증명:

꼭짓점  를 지나는 외접원의 지름을  이라고 하자. 편의상 삼각형  가 예각 삼각형이며  가 호   위의 점이라고 가정하자. 점  를 지나는 변  ,  ,  의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 점  를 변  ,  ,  에 대하여 반사시킨 상을  ,  ,  이라고 하자.

우선 선분  의 중점이  의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자.   가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분  의 연장선과   및 외접원의 교점을  ,  이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라  이다. 선분   의 교점을  라고 하자. 그렇다면 점  ,  ,  을 직선  에 대하여 반사시킨 상은 각각  ,  ,  이므로,  는 선분   위의 점이다.   은 평행하며,  ,  ,  ,  는 한 원 위의 점이므로, 엇각원주각의 성질에 따라

 

이다. 따라서   는 평행한다.

이제 선분  의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심  를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점  ,  ,  에 이 변환을 가한 상은 각각 선분  ,  ,  의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분  의 중점은 외접원 위의 점  에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다.

삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 준선은 오일러 직선이다.[5]:200 삼각형의 모든 내접 포물선준선은 수심을 지난다.[5]:200

수심 삼각형편집

직각 삼각형이 아닌 삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발  ,  ,  를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형  수심 삼각형(垂心三角形, 영어: orthic triangle)  라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.

예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,[1]:17, §1.6, Theorem 1.61 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.[1]:18, §1.6, Exercise 3 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다.

증명:

편의상 삼각형  가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점  ,  ,  에서 대변에 내린 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 수심을  라고 하자. 그렇다면 사각형  ,  ,  는 모두 내접 사각형이므로

 

이다. 따라서,  는 삼각형   에서의 내각 이등분선이며,  는 삼각형   에서의 외각 이등분선이다.

파냐노 문제편집

삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 만약 삼각형  가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형  이다. 이를 파냐노 문제(영어: Pagnano’s problem)라고 한다. 만약 삼각형  가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이  라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형  이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).[1]:88–89, §4.5[3]:86–89, §2H, Problem 2.39

증명 1:

편의상   가 예각이라고 하자.  가 변   위의 고정된 점이라고 하고,  ,  이 각각 점  를 변  ,  에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면

 

이며, 변  ,   위의 점  ,  에 대하여, 삼각형  의 둘레는

 

이다.

만약  라면,  이므로 선분  은 변  ,  와 교점  ,  를 갖는다. 고정된 점  에 대하여, 이 두 점  ,  는 삼각형  의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는

 

이다. 따라서 최소 둘레  를 가장 작게 만드는 점  는 선분  의 길이를 가장 작게 만드는 점  이다.

만약  라면,  이므로 선분  은 변  ,  와 교점을 갖지 않는다. 변  ,   위의 점  ,  에 대하여, 유향 선분  의 연장선과 선분  의 교점을  이라고 하자. 그렇다면

 

이다. 따라서 고정된 점  에 대하여, 둘레  를 가장 작게 만드는 두 점  ,   ,  이다. 이 경우 최소 둘레는

 

이며, 이를 가장 작게 만드는 점  는 점  이다.

증명 2:

예각 삼각형  와 내접 삼각형  가 주어졌다고 하자 ( ,  ,  는 변  ,  ,   위의 점이다). 이를 차례로 직선  ,  ,  ,  ,  에 대하여 반사시켜 삼각형  와 내접 삼각형  , 삼각형  와 내접 삼각형  , 삼각형  와 내접 삼각형  , 삼각형  와 내접 삼각형  , 삼각형  와 내접 삼각형  를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분  는 선분  평행 이동시킨 상이다. 벡터  는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형  의 선택과 무관하다. 꺾인 선  는 내접 삼각형  의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형  가 수심 삼각형  라는 것이다. 따라서 예각 삼각형  의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형  이다.

수심축편집

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  에서 대변에 내린 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 직선   의 교점을  , 직선   의 교점을  , 직선   의 교점을  라고 하자. 그렇다면  ,  ,  는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형  수심축(영어: orthic axis)이라고 한다.[2]:151, §13.2, (ii)

증명:

편의상 삼각형  가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변  ,  ,  는 수심 삼각형  의 외각 이등분선이다. 따라서

 

이며, 메넬라오스 정리에 따라 점  ,  ,  는 공선점이다.

수심계편집

평면 위의 세 점  ,  ,  가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형  직각 삼각형이라면, 수심  는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형  가 직각 삼각형이 아니라면,  ,  ,  와 수심  는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며,  ,  ,   역시 각각 삼각형  ,  ,  의 수심이다. 이 경우 네 점  ,  ,  ,  수심계(垂心系, 영어: orthocentric system)를 이룬다고 한다.[3]:61–62, §2C 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다.

증명:

 가 삼각형  의 수심인 것은 직선  ,  ,  는 각각 직선  ,  ,  의 수선인 것과 동치이다. 이는 점  ,  ,  ,   가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점  ,  ,  ,  의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점   대신 남은 세 점  ,  ,   가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.

수심계  ,  ,  ,   속 네 삼각형  ,  ,  ,  의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다.

증명:

네 점  ,  ,  ,  가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선   ,   ,   의 교점을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 삼각형  는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.

드로츠파르니 직선편집

삼각형  의 수심  에서 직교하는 두 직선이 직선  와 점  ,  에서, 직선  와 점  ,  에서, 직선  와 점  ,  에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분  ,  ,  의 중점  ,  ,  는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형  드로츠파르니 직선(영어: Droz-Farny line)이라고 한다.[6]

테일러 원편집

삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 대변의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 발  ,  ,  을 지나는 변   ,   ,   의 수선의 발을 각각   ,   ,   라고 하자. 그렇다면 6개의 점   ,  ,  ,  ,  는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형  테일러 원(영어: Taylor circle)이라고 한다.[2]:95, §9.6 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다.

증명:

편의상 삼각형  가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형  의 내접 비단순 육각형  터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라   가 각각  반평행선과 평행선임을 보이면 된다.

우선   가 반평행함을 증명하자. 사각형  내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라

 

이므로  는 반평행선이다.

이제   와 평행함을 증명하자.   가 반평행선이므로

 

이다. 따라서  임을 보이는 것으로 충분하며, 이는  를 보이면 된다. 삼각법에 따라

 
 
 

이다. 여기서  은 삼각형  의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가  ,  ,  인 삼각형의 세 변의 길이의 비는  이므로, 코사인 법칙에 따라

 

이다. 이제 삼각형  에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

 

이는 3개의 반평행선에서  를 선택한 것과 무관하다.

각주편집

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
  3. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 
  4. Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Volenec, V. (1989). 《Recent Advances in Geometric Inequalities》. Mathematics and Its Applications (영어) 28. Dordrecht: Springer Science+Business Media, B.V. doi:10.1007/978-94-015-7842-4. ISBN 978-90-481-8442-2. 
  5. Eddy, R. H.; Fritsch, R. (1994년 6월). “The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 67 (3): 188–205. doi:10.2307/2690610. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690610. 
  6. Ayme, Jean-Louis (2004). “A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem” (PDF). 《Forum Geometricorum》 (영어) 4: 219–224. ISSN 1534-1178. 

외부 링크편집