목걸이 (조합론)
정의
편집목걸이
편집임의의 집합 가 주어졌다고 하자. 위의 길이 의 문자열 집합 을 생각할 수 있다. 위에는 차 순환군 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
보다 일반적으로, 크기 의 정이면체군 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
임의의 집합 가 주어졌을 때, 속의 색깔을 갖는, 길이 의 목걸이(영어: necklace)는 위의, 작용에 대한 궤도이다. 속의 색깔을 갖는, 길이 의 팔찌(영어: bracelet)는 위의, 작용에 대한 궤도이다.
비주기적 목걸이(非週期的-, 영어: aperiodic necklace)는 안정자군이 자명군인 목걸이이다. 임의의 목걸이는 비주기적 목걸이의 반복으로 표준적으로 나타낼 수 있다. 즉, 길이 의 목걸이는 의 어떤 약수 에 대하여, 길이 의 비주기적 목걸이의 번 반복으로 나타낼 수 있다.
성질
편집목걸이와 팔찌의 수는 포여 열거 정리를 사용하여 계산할 수 있다.
목걸이의 수
편집개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 목걸이의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.
여기서 는 오일러 피 함수이다.
팔찌의 수
편집개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.
비주기적 목걸이의 수
편집개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.
이를 목걸이 다항식(-多項式, 영어: necklace polynomial)이라고 한다. 여기서 는 뫼비우스 함수이다. 모든 목걸이는 비주기적 목걸이로 분해할 수 있으므로
이다.
목걸이 다항식의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선, 은 순환군의 작용에 대한 궤도들의 크기의 합이므로, 다음 공식이 성립한다.
이를 뫼비우스 반전 공식에 따라 풀면 다음과 같다.
특히, 임의의 소수 에 대하여,
이다.
표
편집처음 몇 개의 목걸이 다항식은 다음과 같다.
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응용
편집목걸이 다항식 는 다음과 같은 수학 분야에서 등장한다.
역사
편집샤를 폴 나르시스 모로(프랑스어: Charles Paul Narcisse Moreau)가 1872년에 최초로 목걸이의 열거 문제를 연구하였다.[1]
참고 문헌
편집- ↑ Moreau, C. (1872). “Sur les permutations circulaires distinctes”. 《Nouvelles annales de mathématiques》 (프랑스어) 11: 309–314. JFM 04.0086.01.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Necklace”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.