베르 집합

측도론에서 베르 집합(Baire集合, 영어: Baire set)은 실수 값 연속 함수들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, G_δ 콤팩트 집합들로 생성된다. 베르 집합들의 시그마 대수는 보렐 시그마 대수의 부분 시그마 대수이다.

정의

$K$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 시그마 대수는 일치하며, 그 원소를 베르 집합이라고 한다.^{:197, Exercise 7.2.8(a)}

• $K$ 속의 G_δ 닫힌집합들로 생성되는 시그마 대수
• 연속 함수 공간 ${\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {R} )$으로 생성되는 시작 시그마 대수 ($\mathbb {R}$에는 보렐 시그마 대수를 부여한다). 즉, 임의의 연속 함수 $X\to \mathbb {R}$가 가측 함수이게 하는, 가장 엉성한 시그마 대수

$K$의 베르 집합의 시그마 대수를 $\operatorname {Baire} (K)$로 표기하자.

일부 문헌에서는 이 정의를 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 일반화하지만, 이 경우 문헌마다 정의가 다를 수 있다.

성질

콤팩트 하우스도르프 공간의 베르 닫힌집합은 G_δ 집합이다.^{:197, Exercise 7.2.11}

보렐 집합과의 관계

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {Baire} (K)\subseteq \operatorname {Borel} (K)$

여기서 $\operatorname {Borel} (K)$는 $K$의 보렐 시그마 대수이다. (이는 보렐 시그마 대수는 모든 G_δ 집합으로 생성되는 시그마 대수이기 때문이다.)

콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여, 거리화 가능 공간인 것은 제2 가산 공간인 것과 동치이다. 거리화 가능 공간에서 모든 닫힌집합은 G_δ 집합이며, 이에 따라 거리화 가능 콤팩트 하우스도르프 공간에서 베르 시그마 대수는 보렐 시그마 대수와 일치한다.^{:197, Exercise 7.2.8(b)}

곱공간

임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$와 $Y$에 대하여, 다음이 성립한다.^{:226, Exercise 7.6.5}

$\operatorname {Baire} (X\times Y)=\sigma \left(\left\{S\times T\colon S\in \operatorname {Baire} (X),T\in \operatorname {Baire} (Y)\right\}\right)$

보렐 시그마 대수 위의 측도

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 유한 부호 측도

$\mu \colon \operatorname {Baire} (X)\to \mathbb {R}$

들의 공간을 생각하자. 이는 노름

$\|\mu \|=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)$

에 의하여 실수 바나흐 공간을 이룬다. 여기서

$\mu =\mu _{+}-\mu _{-}$

$\mu _{+},\mu _{-}\colon \operatorname {Borel} (X)\to [0,\infty )$

는 $\mu$의 조르당 분해이다. 이 바나흐 공간을 $\operatorname {BaireMeas} (X)$로 표기하자.

이제, 다음과 같은 범주를 생각하자.

• 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {CompHausTop}$
• 실수 바나흐 공간과 실수 유계 작용소의 범주 $\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$

이 두 범주 사이에 다음과 같은 두 함자를 정의할 수 있다.

• 실수 바나흐 공간을 그 연속 쌍대 공간에 대응시키는 함자

  $(-)^{*}\colon \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$

  $(-)^{*}\colon V\mapsto V^{*}$

  $(-)^{*}\colon (V{\overset {T}{\to }}W)\mapsto (\phi \mapsto \phi \circ T)$

• 함자 ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {R} )\colon \operatorname {CompHausTop} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 그 위의 실수 값 연속 함수의 실수 바나흐 공간으로 대응시킨다. (이 경우 노름은 L¹ 노름이다.)

  ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {R} )\colon X\mapsto {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {R} )$

  ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {R} )\colon (X{\overset {\phi }{\to }}Y)\mapsto (f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {R} )\mapsto f\circ \phi )$

• 함자 $\operatorname {BaireMeas} \colon \operatorname {CompHausTop} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 그 베르 시그마 대수 위의 유한 부호 측도들의 실수 바나흐 공간에 대응시킨다.

  $\operatorname {BaireMeas} \colon X\mapsto \operatorname {BorMeas} (X)$

  $\operatorname {BaireMeas} \colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto (\mu \mapsto \mu \circ f^{-1})$

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]定理, 영어: Riesz–Markov–Kakutani representation theorem)에 따르면,^{:198, Exercise 7.2.10} 자연 동형

$\iota \colon \operatorname {BaireMeas} \to {\mathcal {(}}-)^{*}\circ C^{0}(-,\mathbb {R} )$

가 존재하며, 그 성분은 $X\in \operatorname {CompHausTop}$에 대하여 다음과 같다.

$\iota _{X}\colon \operatorname {BaireMeas} (X)\to \left({\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {R} )\right)^{*}$

$\iota _{X}\colon \mu \mapsto (f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {R} )\mapsto \int -Xf\,\mathrm {d} \mu )$

특히, $\iota _{X}$는 실수 바나흐 공간의 동형(등거리 전단사 실수 선형 변환)을 이룬다.

이 정리 때문에, 일부 문헌에서는 베르 시그마 대수 위의 유한 측도를 ‘베르 측도’라고 부르기도 한다.

역사

르네루이 베르의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Baire set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.