보편 계수 정리

대수적 위상수학에서, 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

정의편집

호몰로지 보편 계수 정리편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

 

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히,  주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면  에 대하여  이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.[1]:47, Theorem 2.34

 

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉,  은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

 

특히,  주 아이디얼 정역이며 추가로  평탄 가군이라고 하자. (만약  라면, 이는  꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면  이며, 따라서

 

이다.

코호몰로지 보편 계수 정리편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

 

여기서 Ext는 Ext 함자이다.

특히,  주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면  에 대하여  이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.[1]:44, Theorem 2.29

 

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉,  은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

 

특히,  주 아이디얼 정역이며 추가로  단사 가군이라고 하자. (만약  라면, 이는  나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면  이며, 따라서

 

이다.

참고 문헌편집

  1. Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). 《Lecture Notes in Algebraic Topology》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 35. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2160-2. 

외부 링크편집