분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
가환환
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
아이디얼
I
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq R}
각 자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
함수
γ
n
:
I
→
R
{\displaystyle \gamma _{n}\colon {\mathfrak {I}}\to R}
(
R
,
I
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}})}
분할 거듭제곱 구조 (分割-構造, 영어 : divided power structure , 프랑스어 : structure à puissances divisées )라고 한다. 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
γ
0
(
x
)
=
1
∀
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{0}(x)=1\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}}
γ
1
(
x
)
=
x
∀
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{1}(x)=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}}
γ
n
(
x
)
∈
I
∀
n
∈
Z
+
,
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in {\mathfrak {I}}}
γ
n
(
x
+
y
)
=
∑
i
=
0
n
γ
n
−
i
(
x
)
γ
n
(
y
)
∀
n
∈
N
,
x
,
y
∈
I
{\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{n}(y)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x,y\in {\mathfrak {I}}}
γ
n
(
r
x
)
=
r
n
γ
n
(
x
)
∀
n
∈
N
,
r
∈
R
,
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{n}(rx)=r^{n}\gamma _{n}(x)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in R,\;x\in {\mathfrak {I}}}
γ
m
(
x
)
γ
n
(
x
)
=
(
m
+
n
m
)
γ
m
+
n
(
x
)
∀
m
,
n
∈
N
,
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)={\binom {m+n}{m}}\gamma _{m+n}(x)\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}
γ
n
(
γ
m
(
x
)
)
=
(
m
n
)
!
(
m
!
)
n
n
!
γ
m
n
(
x
)
∀
m
∈
Z
+
,
n
∈
N
,
x
∈
I
{\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}\gamma _{mn}(x)\qquad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}
간혹
γ
n
(
x
)
{\displaystyle \gamma _{n}(x)}
x
[
n
]
{\displaystyle x^{[n]}}
두 분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
(
S
,
J
,
δ
)
{\displaystyle (S,{\mathfrak {J}},\delta )}
준동형
f
:
R
→
S
{\displaystyle f\colon R\to S}
환 준동형 이다.
f
(
I
)
S
⊆
J
{\displaystyle f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}}
f
(
γ
n
(
x
)
)
=
δ
n
(
f
(
x
)
)
∀
n
∈
N
,
x
∈
I
{\displaystyle f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}
이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주 가 존재한다.
분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴 으로 일반화시킬 수 있다.
분할 거듭제곱 스킴 (分割-scheme, 영어 : divided power scheme )은 다음 데이터로 주어진다.
스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
아이디얼 층
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
X
{\displaystyle X}
열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
분할 거듭제곱 구조
γ
n
:
I
(
U
)
→
O
X
(
U
)
{\displaystyle \gamma _{n}\colon {\mathcal {I}}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의 두 (자리스키) 열린집합
V
⊆
U
⊆
X
{\displaystyle V\subseteq U\subseteq X}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
준층 의 사상을 이룬다.)
I
(
U
)
→
γ
n
I
(
U
)
res
U
,
V
I
↓
res
U
,
V
I
res
U
,
V
I
↓
res
U
,
V
I
I
(
V
)
→
γ
n
I
(
V
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {I}}(U)&{\overset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(U)\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \color {White}{\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\{\mathcal {I}}(V)&{\underset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(V)\end{matrix}}}
분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.
임의의 분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
r
n
=
n
!
γ
n
(
r
)
(
∀
n
∈
N
,
r
∈
I
)
{\displaystyle r^{n}=n!\gamma _{n}(r)\qquad (\forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in {\mathfrak {I}})}
물론, 만약
R
{\displaystyle R}
n
!
=
0
{\displaystyle n!=0}
증명:
분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,
r
γ
n
(
r
)
=
γ
1
(
r
)
γ
n
(
r
)
=
(
n
+
1
1
)
γ
n
+
1
(
r
)
=
(
n
+
1
)
γ
n
+
1
(
r
)
{\displaystyle r\gamma _{n}(r)=\gamma _{1}(r)\gamma _{n}(r)={\binom {n+1}{1}}\gamma _{n+1}(r)=(n+1)\gamma _{n+1}(r)}
이다. 이를 반복하면
r
n
=
1
⋅
r
n
−
1
γ
1
(
r
)
=
1
⋅
2
⋅
r
n
−
2
γ
2
(
r
)
=
⋯
=
n
!
γ
n
(
r
)
{\displaystyle r^{n}=1\cdot r^{n-1}\gamma _{1}(r)=1\cdot 2\cdot r^{n-2}\gamma _{2}(r)=\dotsb =n!\gamma _{n}(r)}
을 얻는다.
다음이 주어졌다고 하자.
분할 거듭제곱 환
(
A
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {I}},\gamma )}
가환환
B
{\displaystyle B}
환 준동형
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
B
{\displaystyle B}
아이디얼
J
⊆
B
{\displaystyle {\mathfrak {J}}\subseteq B}
f
(
I
)
B
⊆
J
{\displaystyle f({\mathfrak {I}})B\subseteq {\mathfrak {J}}}
그렇다면, 다음 보편 성질 을 만족시키는 분할 거듭제곱 환
(
B
¯
,
J
¯
,
δ
)
{\displaystyle ({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )}
임의의 분할 거듭제곱 환
(
C
,
K
,
ε
)
{\displaystyle (C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )}
hom
PDRing
/
(
A
,
I
,
γ
)
(
(
B
¯
,
J
¯
,
δ
)
,
(
C
,
K
,
ε
)
)
=
hom
CRingIdeal
/
(
A
,
I
)
(
(
B
,
J
)
,
(
C
,
K
)
)
{\displaystyle \hom _{\operatorname {PDRing} /(A,{\mathfrak {I}},\gamma )}\left(({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta ),(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )\right)=\hom _{\operatorname {CRingIdeal} /(A,{\mathfrak {I}})}\left((B,{\mathfrak {J}}),(C,{\mathfrak {K}})\right)}
여기서
PDRing
{\displaystyle \operatorname {PDRing} }
CRingIdeal
{\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} }
가환환 의 아이디얼 들의 범주이다. 즉,
CRingIdeal
{\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} }
(
R
,
I
)
{\displaystyle (R,{\mathcal {I}})}
가환환
R
{\displaystyle R}
아이디얼
I
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq R}
순서쌍 이다.
CRingIdeal
{\displaystyle \operatorname {CRingIdeal} }
f
:
(
R
,
I
)
→
(
S
,
J
)
{\displaystyle f\colon (R,{\mathcal {I}})\to (S,{\mathfrak {J}})}
f
(
I
)
S
⊆
J
{\displaystyle f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}}
환 준동형
f
:
R
→
S
{\displaystyle f\colon R\to S}
/
{\displaystyle /}
조각 범주 를 뜻한다.이 보편 성질 을 만족시키는 분할 거듭제곱 환
(
B
¯
,
J
¯
,
δ
)
{\displaystyle ({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )}
(
B
,
J
)
{\displaystyle (B,{\mathfrak {J}})}
분할 거듭제곱 포락 (分割-包絡, 영어 : divided power envelope )이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.
고전적인 켈러 미분 의 이론은 양의 표수 에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체 를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체 를 정의할 수 있다.
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
환 준동형
f
:
K
→
R
{\displaystyle f\colon K\to R}
켈러 미분 의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군 (分割-微分加群, 영어 : module of divided-power differentials )
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
1
{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}}
d
b
{\displaystyle \mathrm {d} b}
K
{\displaystyle K}
가군 으로 정의할 수 있다.
d
(
r
+
s
)
=
d
b
+
d
s
(
r
,
s
∈
R
)
{\displaystyle \mathrm {d} (r+s)=\mathrm {d} b+\mathrm {d} s\qquad (r,s\in R)}
d
(
r
s
)
=
(
d
r
)
s
+
r
(
d
s
)
(
r
,
s
∈
R
)
{\displaystyle \mathrm {d} (rs)=(\mathrm {d} r)s+r(\mathrm {d} s)\qquad (r,s\in R)}
d
f
(
λ
)
=
0
∀
λ
∈
K
{\displaystyle \mathrm {d} f(\lambda )=0\qquad \forall \lambda \in K}
d
(
γ
n
(
r
)
)
=
γ
n
−
1
d
r
∀
n
∈
Z
+
,
r
∈
R
{\displaystyle \mathrm {d} (\gamma _{n}(r))=\gamma _{n-1}\mathrm {d} r\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;r\in R}
이것이 보통 켈러 미분 하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.
이제, 켈러 미분 과 마찬가지로
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
n
=
⋀
R
n
Ω
R
/
K
,
I
,
δ
1
{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{n}=\bigwedge _{R}^{n}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\delta }^{1}}
d
:
(
r
0
(
d
r
1
∧
⋯
∧
d
r
n
)
)
↦
d
r
0
∧
d
r
1
∧
⋯
∧
d
r
n
(
r
0
,
r
1
,
…
,
r
n
∈
R
)
{\displaystyle \mathrm {d} \colon \left(r_{0}(\mathrm {d} r_{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} r_{n})\right)\mapsto \mathrm {d} r_{0}\wedge \mathrm {d} r_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} r_{n}\qquad (r_{0},r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R)}
를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체 를 이룸을 보일 수 있다.
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
0
→
d
Ω
R
/
K
,
J
,
δ
1
→
d
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
2
→
d
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
3
→
d
⋯
{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,J,\delta }^{1}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{3}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb }
이를 분할 거듭제곱 드람 복합체 (分割-de Rham複合體, 영어 : divided-power de Rham complex )라고 한다.
이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층
O
R
/
S
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{R/S}}
결정 위치 위의 결정 이기 때문이다.
표수 0의 체
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
아이디얼
I
⊆
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}
γ
n
(
x
)
=
1
n
!
⋅
x
n
{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}}
물론, 이 경우
I
=
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}=A}
가환환
Z
⟨
x
⟩
:=
Z
[
x
,
x
2
2
,
…
,
x
n
n
!
,
…
]
⊂
Q
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\dotsc \right]\subset \mathbb {Q} [x]}
의 주 아이디얼
(
x
)
{\displaystyle (x)}
γ
n
(
x
)
=
x
n
n
!
∀
n
∈
N
{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
범주 이론 의 의미로 붙인 것이다.
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
R
{\displaystyle R}
유한 집합
I
{\displaystyle I}
그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식 (分割-單項式, 영어 : divided power monomial )은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.
r
∏
i
∈
I
x
i
[
n
i
]
(
(
n
i
)
i
∈
I
∈
N
I
,
r
∈
R
)
{\displaystyle r\prod _{i\in I}x_{i}^{[n_{i}]}\qquad ((n_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{I},\;r\in R)}
이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환
R
{\displaystyle R}
결합 대수
R
⟨
(
x
i
)
i
∈
I
⟩
{\displaystyle R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle }
분할 거듭제곱 다항식환 (分割-多項式環, 영어 : divided power polynomial ring )이라고 한다.
이 속에서, 양의 차수(즉,
∑
i
n
i
>
0
{\displaystyle \textstyle \sum _{i}n_{i}>0}
아이디얼 을 생각할 수 있다. 이 위에는
λ
n
(
x
i
[
m
]
)
=
(
m
n
)
!
(
m
!
)
n
n
!
x
i
[
m
n
]
(
m
,
n
∈
N
,
i
∈
I
)
{\displaystyle \lambda _{n}(x_{i}^{[m]})={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}x_{i}^{[mn]}\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;i\in I)}
와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.
양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수 의 경우,
x
n
=
n
!
γ
n
(
x
)
{\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)}
n
!
{\displaystyle n!}
예를 들어, 만약
소수
p
{\displaystyle p}
표수 를 갖는 가환환
A
{\displaystyle A}
I
p
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}=0}
멱영 아이디얼
I
⊆
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}
에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.
γ
n
(
x
)
=
{
x
n
/
n
!
n
<
p
0
n
≥
p
{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\begin{cases}x^{n}/n!&n<p\\0&n\geq p\end{cases}}}
일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼
I
p
{\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}}
x
∈
I
{\displaystyle x\in {\mathfrak {I}}}
x
p
{\displaystyle x^{p}}
분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자 의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.
구체적으로, 양의 표수
p
{\displaystyle p}
ℓ
≠
p
{\displaystyle \ell \neq p}
표수
p
{\displaystyle p}
가환환
A
{\displaystyle A}
다항식환
A
[
x
]
{\displaystyle A[x]}
곱 규칙
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
을 생각하자. 만약
p
∣
n
{\displaystyle p\mid n}
(
x
n
)
′
=
0
{\displaystyle (x^{n})'=0}
이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어 : Kummer sequence )이
ℓ
=
p
{\displaystyle \ell =p}
에탈 위상 위에서 완전열 이 되지 못하게 된다.
이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는
n
{\displaystyle n}
x
[
m
]
y
[
n
]
=
(
m
+
n
)
!
m
!
n
!
x
m
y
n
{\displaystyle x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}}
그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면
(
x
[
n
]
)
′
=
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle (x^{[n]})'=x^{[n-1]}}
가 되며, 골칫거리인
n
{\displaystyle n}
즉, 가환환
A
{\displaystyle A}
A
⟨
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
⟩
=
{
∑
i
1
,
⋯
,
i
n
a
i
1
,
⋯
,
i
n
x
1
[
i
1
]
⋯
x
n
[
i
n
]
|
a
i
1
,
⋯
,
i
n
∈
A
}
{\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}}
이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.
보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조 를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면,
A
⟨
x
⟩
{\displaystyle A\langle x\rangle }
x
{\displaystyle x}
주 아이디얼 에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. Zbl 0383.14010 . Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》. Pure and applied mathematics (영어) 78 . Elsevier. ISBN 0123351502 Zbl 0454.14020 . Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p >0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0068636 . ISBN 978-3-540-06852-5 MR 0384804 . 
![{\displaystyle x^{[n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11cdb7e5828f04d15acd4fe13cb86aedc16e68e)
![{\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\dotsc \right]\subset \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e700ea8ae013dff49fcd2b8a1d476e52ac3258)
![{\displaystyle r\prod _{i\in I}x_{i}^{[n_{i}]}\qquad ((n_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{I},\;r\in R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a4033e3bdcdfed6df0f02aff17747ed652e382)
![{\displaystyle \lambda _{n}(x_{i}^{[m]})={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}x_{i}^{[mn]}\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;i\in I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7747760540d872af7885b130f1bf86ca1af99865)
![{\displaystyle A[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5d3b3ae4cfb46d3ef305e5d7dcb130f10e468)
![{\displaystyle x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bce5f5fc7dbba1e499ffd941303d8c10907e8d)
![{\displaystyle (x^{[n]})'=x^{[n-1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687048a72814fc46f7886cc6ab20f08073e996f3)
![{\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c57ae0722ab51d9df8a067a783fde2f30151b3)
