대수기하학 에서 결정 코호몰로지 (結晶cohomology, 영어 : crystalline cohomology , 프랑스어 : cohomologie cristalline )는 양의 표수 를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.[ 1] [ 2]
스킴
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
결정 열린 몰입 (영어 : crystalline open immersion )
(
U
,
T
,
δ
)
{\displaystyle (U,T,\delta )}
스킴
(
U
,
O
U
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{U})}
(자리스키) 열린 몰입
U
↪
X
{\displaystyle U\hookrightarrow X}
U
{\displaystyle U}
닫힌 부분 스킴
T
{\displaystyle T}
준연접
O
U
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}
아이디얼 층
I
⊆
O
U
{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{U}}
δ
{\displaystyle \delta }
(
U
,
I
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {I}})}
분할 거듭제곱 구조 이다. 즉,
(
U
,
I
,
δ
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {I}},\delta )}
분할 거듭제곱 스킴 을 이룬다.다음이 주어졌다고 하자.
분할 거듭제곱 스킴
(
S
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )}
스킴
X
{\displaystyle X}
스킴 사상
X
→
S
{\displaystyle X\to S}
(작은) 결정 위치 (-結晶位置, 영어 : (small) crystalline site )
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
범주 로서 다음과 같다.
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
X
{\displaystyle X}
(
U
,
T
,
δ
)
{\displaystyle (U,T,\delta )}
U
{\displaystyle U}
T
{\displaystyle T}
위상 공간 으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
분할 거듭제곱 스킴 의 사상
(
U
,
T
,
δ
)
→
(
U
′
,
T
′
,
δ
′
)
{\displaystyle (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')}
분할 거듭제곱 스킴
(
S
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )}
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상 을 주어 위치 로 만들 수 있다.
유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치 (영어 : big crystalline site )
CRIS
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)}
작은 범주 를 이루지 못한다.
CRIS
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)}
분할 거듭제곱 스킴 사상
(
U
,
T
,
δ
)
→
(
S
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (U,T,\delta )\to (S,{\mathcal {I}},\gamma )}
U
{\displaystyle U}
T
{\displaystyle T}
위상 공간 으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
CRIS
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {CRIS} (X/S)}
분할 거듭제곱 스킴 의 사상
(
U
,
T
,
δ
)
→
(
U
′
,
T
′
,
δ
′
)
{\displaystyle (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')}
분할 거듭제곱 스킴
(
S
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )}
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상 을 주어 위치 로 만들 수 있다.
작은 결정 위치 위의 층 의 층 코호몰로지 군
H
i
(
Cris
(
X
/
S
)
;
F
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\operatorname {Cris} (X/S);{\mathcal {F}})}
을 결정 코호몰로지 라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
스킴 사상
X
→
S
{\displaystyle X\to S}
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
결정 위치
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
O
X
/
S
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X/S}}
가군층
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
그렇다면,
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
(
U
,
T
,
δ
)
{\displaystyle (U,T,\delta )}
(
U
′
,
T
′
,
δ
′
)
{\displaystyle (U',T',\delta ')}
f
:
(
U
,
T
,
δ
)
→
(
U
′
,
T
′
,
δ
′
)
{\displaystyle f\colon (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')}
에 대하여, 자연스러운 사상
f
∗
F
T
⟶
F
T
′
{\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}_{T}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{T'}}
이 존재한다. 만약 이 사상이 항상
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
동형 사상 이라면,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
결정 (結晶, 영어 : crystal 크리스털[* ] )이라고 한다. 이는
X
/
S
{\displaystyle X/S}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
구조층
O
X
/
S
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X/S}}
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
환 준동형
f
:
K
→
R
{\displaystyle f\colon K\to R}
R
{\displaystyle R}
가군
M
∈
Mod
R
{\displaystyle M\in \operatorname {Mod} _{R}}
M
{\displaystyle M}
접속 (接續, 영어 : connection )이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형
∇
:
M
→
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
1
⊗
R
M
{\displaystyle \nabla \colon M\to \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}\otimes _{R}M}
이다.
∇
(
r
m
)
=
r
∇
m
+
m
⊗
B
d
r
∀
m
∈
M
,
r
∈
R
{\displaystyle \nabla (rm)=r\nabla m+m\otimes _{B}\mathrm {d} r\qquad \forall m\in M,\;r\in R}
여기서
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
1
{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}}
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
분할 거듭제곱 미분 가군 이다.
이 경우, 항등식
∇
(
m
⊗
R
ω
)
=
∇
m
∧
ω
+
m
⊗
R
d
ω
(
m
∈
M
,
ω
∈
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
∙
)
{\displaystyle \nabla (m\otimes _{R}\omega )=\nabla m\wedge \omega +m\otimes _{R}\mathrm {d} \omega \qquad (m\in M,\;\omega \in \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet })}
를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분
∇
:
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
∙
→
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
∙
+
1
{\displaystyle \nabla \colon M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet }\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet +1}}
을 정의할 수 있다.
만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
0
→
∇
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
1
→
∇
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
I
,
γ
2
→
⋯
{\displaystyle M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}\to \dotsb }
가 사슬 복합체 라면, 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
M
{\displaystyle M}
적분 가능 접속 (積分可能接續, 영어 : integrable connection )이라고 한다.
결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
분할 거듭제곱 스킴
(
S
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (S,{\mathcal {I}},\gamma )}
스킴
X
{\displaystyle X}
스킴 사상
X
→
S
{\displaystyle X\to S}
X
{\displaystyle X}
(
U
,
T
,
δ
)
∈
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle (U,T,\delta )\in \operatorname {Cris} (X/S)}
Cris
(
X
/
S
)
{\displaystyle \operatorname {Cris} (X/S)}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
그렇다면,
O
T
′
:=
O
T
⊗
Ω
T
,
δ
1
,
(
U
(
1
)
,
T
(
1
)
,
δ
(
1
)
)
=
(
U
,
T
,
δ
)
×
(
S
,
I
,
γ
)
(
U
,
T
,
δ
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{T'}:={\mathcal {O}}_{T}\otimes \Omega _{T,\delta }^{1},(U(1),T(1),\delta (1))=(U,T,\delta )\times _{(S,I,\gamma )}(U,T,\delta )}
로 정의하고,
p
0
,
p
1
:
T
(
1
)
→
T
{\displaystyle p_{0},p_{1}\colon T(1)\to T}
p
0
∗
F
T
⟶
c
0
F
T
′
⟵
c
1
p
1
∗
F
T
{\displaystyle p_{0}^{*}{\mathcal {F}}_{T}{\overset {c_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}_{T'}{\overset {c_{1}}{\longleftarrow }}p_{1}^{*}{\mathcal {F}}_{T}}
를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상 이다.
s
∈
Γ
(
T
,
F
T
)
{\displaystyle s\in \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})}
∇
(
s
)
=
p
1
∗
s
−
c
(
p
0
∗
s
)
{\displaystyle \nabla (s)=p_{1}^{*}s-c(p_{0}^{*}s)}
로 정의하자. 여기에서
c
=
c
1
−
1
∘
c
0
{\displaystyle c=c_{1}^{-1}\circ c_{0}}
리 미분
∇
X
(
Y
)
=
X
Y
−
Y
X
{\displaystyle \nabla _{X}(Y)=XY-YX}
∇
:
Γ
(
T
,
F
T
)
⟶
Γ
(
T
,
F
T
⊗
O
X
/
S
Ω
T
/
X
,
δ
1
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})\longrightarrow \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X/S}}\Omega _{T/X,\delta }^{1})}
를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.
미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수 는 불편하니 다음을 정의하자.
(
A
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (A,I,\gamma )}
분할 거듭제곱 환 이고
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
환 준동형 이라면 적당한
P
=
A
[
x
i
]
{\displaystyle P=A[x_{i}]}
P
→
C
{\displaystyle P\to C}
전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵 을
J
{\displaystyle J}
D
=
lim
←
e
D
B
,
γ
(
J
)
/
p
e
D
B
,
γ
(
J
)
{\displaystyle D=\varprojlim _{e}D_{B,\gamma }(J)/p^{e}D_{B,\gamma }(J)}
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과
X
/
S
{\displaystyle X/S}
준연접층 은 서로 일대일 대응 한다.
다음을 생각하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
유한 집합
I
{\displaystyle I}
K
{\displaystyle K}
I
{\displaystyle I}
분할 거듭제곱 다항식환
P
=
K
⟨
(
x
i
)
i
∈
I
⟩
{\displaystyle P=K\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle }
K
{\displaystyle K}
가군
M
{\displaystyle M}
그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체
Ω
P
/
K
∙
{\displaystyle \Omega _{P/K}^{\bullet }}
M
{\displaystyle M}
텐서곱 을 취하여도, 이는 완전열 을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열 이 존재한다.
0
→
M
→
M
⊗
K
Ω
P
/
K
1
→
M
⊗
K
Ω
P
/
K
2
→
M
⊗
K
Ω
P
/
A
3
→
⋯
{\displaystyle 0\to M\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{1}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{2}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/A}^{3}\to \cdots }
이 완전열 의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환
A
[
x
i
]
{\displaystyle A[x_{i}]}
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
보다 일반적으로, 다음을 생각하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
분할 거듭제곱 환
(
R
,
I
,
γ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}
환 준동형
f
:
K
→
R
{\displaystyle f\colon K\to R}
R
{\displaystyle R}
분할 거듭제곱 다항식환
P
=
R
⟨
(
x
i
)
i
∈
I
⟩
{\displaystyle P=R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle }
R
{\displaystyle R}
가군
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
∇
:
M
→
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
δ
1
{\displaystyle \nabla \colon M\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\delta }^{1}}
그렇다면,
P
{\displaystyle P}
J
=
I
P
+
P
+
{\displaystyle {\mathfrak {J}}={\mathfrak {I}}P+P_{+}}
를 생각하자. 여기서
P
+
⊆
P
{\displaystyle P_{+}\subseteq P}
P
{\displaystyle P}
(
P
,
J
)
{\displaystyle (P,{\mathfrak {J}})}
분할 거듭제곱 구조
δ
{\displaystyle \delta }
그렇다면,
K
{\displaystyle K}
가군 범주의 유도 범주
D
(
Mod
K
)
{\displaystyle \operatorname {D} (\operatorname {Mod} _{K})}
M
⊗
R
Ω
R
/
K
,
γ
∙
→
∼
M
⊗
P
Ω
P
/
K
,
δ
∙
{\displaystyle M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\gamma }^{\bullet }{\xrightarrow {\sim }}M\otimes _{P}\Omega _{P/K,\delta }^{\bullet }}
이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).
편집
이제 다음을 생각하자.
X
/
S
{\displaystyle X/S}
C
r
i
s
(
X
/
S
)
{\displaystyle \mathrm {Cris} (X/S)}
D
(
n
)
=
∏
n
D
{\displaystyle D(n)=\prod ^{n}D}
그러면
D
(
0
)
⟶
D
(
1
)
⟶
⋯
{\displaystyle D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots }
R
Γ
(
C
r
i
s
(
X
/
S
)
,
F
)
{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})}
체흐 신경 과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열 을 계산하면
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
준연접층 이라고 하고
M
{\displaystyle M}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
D
{\displaystyle D}
R
Γ
(
C
r
i
s
(
X
/
S
)
,
F
)
{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})}
M
⊗
D
Ω
D
∗
{\displaystyle M\otimes _{D}\Omega _{D}^{*}}
![{\displaystyle P=A[x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0759f8852c04413f118b2ec42928ecccad800c)
![{\displaystyle A[x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af13527cc8e9cd33bf364e1333a5d586448c1e9)
