사용자:Kobmuiv/결맞는 상태 (수리 물리학)

결맞는 상태는 처음에는 양자역학의 준고전적 상태로, 그다음에는 양자 광학의 중추로 물리적 맥락에서 소개되었으며, 위키백과의 결맞는 상태 문서에서 그러한 관점으로 설명된다. 그러나 결맞는 상태에 대한 엄청나게 다양한 일반화를 만들어냈고, 이로 인해 수리물리학 분야에서 많은 양의 문헌이 탄생했다. 본 논문에서는 이 분야의 주요 연구 방향을 개략적으로 설명한다. 자세한 내용은 기존의 여러 조사를 참고.

일반적 정의

${\mathfrak {H}}\,$를 분해 가능한 복소 힐베르트 공간, $X$를 국소 콤팩트 공간, $d\nu$를 $X$에 대한 측도라 하자. 각 $x\in X$에 대해, $|x\rangle$는 ${\mathfrak {H}}$의 원소를 나타낸다. 이 공간 ${\mathfrak {H}}$은 다음과 같은 성질을 가지고 있다고 가정한다.

1. 사상 $x\mapsto |x\rangle$은 약한 연속이다. 즉, 각 벡터 $|\psi \rangle \in {\mathfrak {H}}$에 대해, 함수 $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$는 연속적이다($X$의 위상 기준).
2. 항등원의 분해(resolution of the identity)
   $$\int _{X}|x\rangle \langle x|\,d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}$$
   가 힐베르트 공간 ${\mathfrak {H}}$에서 약한 의미로 성립한다. 즉, ${\mathfrak {H}}$의 임의의 두 원소 $|\phi \rangle ,|\psi \rangle$에 대해,
   $$\int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \,d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle$$
   가 성립한다.

위의 두 가지 성질을 만족하는 $|x\rangle$들의 집합을 일반화된 결맞는 상태족이라고 한다. 이 일반적 정의로부터 결맞는 상태 문서의 정준 또는 표준적 결맞는 상태의 이전 정의를 얻으려면 $X\equiv \mathbb {C}$, ${\textstyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x}$로 두면 충분하다.

때때로 항등원의 분해는 단순히 ${\mathfrak {H}}\,$에서 전체 집합을 구성하고 모든 $|\psi \rangle \in {\mathfrak {H}}$에 대해 함수 $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$는, 재생핵 힐베르트 공간을 형성한다는 더 약한 조건으로 대체된다. 두 경우 모두의 목적은 임의의 벡터 $|\psi \rangle$가 이들 벡터의 선형(적분) 결합으로 표현될 수 있다. 실제로, 항등원의 분해는 즉각적으로 다음을 의미한다.

$$|\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)\left|x\right\rangle \,d\nu (x)$$

여기서 $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$.

이들 벡터 $\Psi$는 $X$에서 정의된 제곱 적분 가능 연속 함수이며 아래의 재생성을 만족시킨다:

$$\int _{X}K(x,y)\Psi (y)\,d\nu (y)=\Psi (x)\,,$$

여기서 $K(x,y)=\langle x|y\rangle$는 다음 특성을 만족하는 재생핵이다.

$${\begin{aligned}K(x,y)&={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\,,\\\int _{X}K(x,z)\,K(z,y)\,d\nu (z)&=K(x,y)\,.\end{aligned}}$$

몇 가지 예

이 절에서는 위에 주어진 일반적 구조의 예시로서 보다 일반적으로 사용되는 결맞는 상태 유형 중 일부를 제시한다.

비선형 결맞는 상태

표준 결맞은 상태의 광범위한 일반화는 분석 구조를 간단히 수정하여 얻을 수 있다. $\varepsilon _{1}\neq 0$, $\varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \dots \leq \varepsilon _{n}\leq \cdots$가 무한한 양수의 수열이라 하자. 계승의 정의와 비슷하게 $\varepsilon _{0}!=1$, $\varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}$라 정의하자. 표준 결맞는 상태가 설명된 동일한 포크 공간에서 이제 관련 변형된 또는 비선형 결맞는 상태를 다음 확장으로 정의한다:

$$\vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-1/2}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.$$

정규화 인자 ${\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})$는 $\langle \alpha \vert \alpha \rangle =1$이 되도록 선택된다. 이러한 일반화된 결맞는 상태는 포크 공간에서 overcomplete하며 항등원의 분해를 충족한다.

$$\int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\,$$

${\mathcal {D}}$는 복소 평면에서 반경 $L$인 열린 원판, $L$은 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$의 수렴 반경(표준 결맞은 상태의 경우, $L=\infty$ . ) 측도 $d\nu$눈 일반적으로 $d\theta \,d\lambda (r)$과 같은 형태이다.($\alpha =re^{i\theta }$), 여기서 $d\lambda$는 모먼트 조건을 통해 $\varepsilon _{n}!$와 관련이 있다.

다시 한번, 우리는 임의의 벡터 $|\phi \rangle$에 대해 이를 본다. 포크 공간에서 함수는 $\Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle$는 $\Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )$ 형태이다. 여기서 $f\,$는 정의역 ${\mathcal {D}}$에서 해석 함수이다. 이러한 결맞는 상태와 관련된 재생핵은 다음과 같다.

$$K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\,.$$

Barut–Girardello 결맞는 상태

표준 결맞은 상태 사례와 유사하게 일반화된 소멸 연산자 $A$를 벡터 $|\alpha \rangle$에 대한 작용으로 정의할 수 있다:

$$A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,,$$

그 수반 연산자 $A^{\dagger }$도 마찬가지 이다. 이들은 포크 상태 $|n\rangle$에 다음과 같이 작용한다:

$$A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \,,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \,.$$

$\varepsilon _{n}$의 정확한 값에 따라, 이 두 연산자는 단위 $I$와 함께 그리고 모든 정류자는 다양한 유형의 변형된 양자 대수를 포함하여 광범위한 대수를 생성할 수 있다. 이러한 일반화된 결맞음 상태에 자주 적용되는 '비선형'이라는 용어는 복사장과 원자 사이의 상호 작용을 연구하는 데 이러한 상태 계열이 많이 사용되는 양자 광학에서 다시 유래되었으며 상호 작용 자체의 강도는 주파수에 따라 달라집니다. 방사선의. 물론 이러한 결맞는 상태는 일반적으로 표준 결맞는 상태의 군 이론 또는 최소 불확실성 성질을 갖지 않다(더 일반적인 성질이 있을 수 있음).

연산자 $A$ 그리고 $A^{\dagger }$ 위에 정의된 일반 유형은 사다리 연산자라고도 한다. 그러한 연산자가 리 대수 표현의 생성자로 나타날 때, 고유벡터는 다음과 같다. $A$ 일반적으로 Barut–Girardello 결맞는 상태 라고 한다. 전형적인 예는 포크 공간 에서 SU(1,1)의 리 대수 표현으로부터 얻어집니다.

Gazeau-Klauder 결맞는 상태

비선형 결맞는 상태의 위 표현의 비해석적 확장은 종종 순수 점 스펙트럼을 갖는 물리적 해밀토니안과 관련된 일반화된 결맞는 상태를 정의하는 데 사용된다. Gazeau-Klauder 결맞는 상태로 알려진 이러한 결맞는 상태는 작용 각도 변수로 표시된다. $E_{0}=0$인 물리적 해밀토니안 ${\textstyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}$이 주어졌다고 가정하자. 즉, 에너지 고유값 $E_{n}$을 갖고 고유벡터는 $|n\rangle$이다. 이들은 힐베르트 상태 공간 ${\mathfrak {H}}$에 대한 정규 직교 기저를 형성한다고 가정한다. $0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\cdots$인 무차원 수량의 수열 $\{\varepsilon _{n}\}$를 도입하여 고유값을 $E_{n}=\omega \varepsilon _{n}$과 같이 쓰자. 그렇다면 모든 $J\geq 0$ 그리고 $\gamma \in \mathbb {R}$에 대해, Gazeau-Klauder 결맞는 상태는 다음과 같이 정의된다.

$$|J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,,$$

또 여기서 ${\mathcal {N}}$는 정규화 인자이며, 이는 오직 $J$에만 의존하는 것으로 밝혀졌다. 이러한 결맞는 상태는 시간적 안정성 조건.

$$e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \,,$$

과 작용 항등식,

$$\langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\,.$$

를 만족한다. 이러한 일반화된 결맞는 상태는 ${\mathfrak {H}}$에서 overcomplete 집합를 형성하지만, 항등원의 분해는 일반적으로 위와 같은 적분 관계에 의해 제공되지 않고 대신 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_periodic_functions" rel="mw:ExtLink" title="Almost periodic functions" class="mw-redirect cx-link" data-linkid="90">almost periodic functions</a> 이론에서 사용되는 것처럼 보어의 의미에서 적분에 의해 제공된다.

실제로 Gazeau-Klauder 결맞는 상태의 구성은 Ali와 Bagarello에서 볼 수 있듯이 벡터 결맞는 상태와 축퇴 스펙트럼이 있는 해밀토니안으로 확장될 수 있다.

열핵 결맞는 상태

또 다른 유형의 결맞는 상태는 그 구성 공간이 콤팩트 리 군 $K$의 군 다양체인 입자를 고려할 때 발생한다. Hall은 유클리드 공간의 일반적인 가우시안이 $K$의 열핵으로 대체되는 결맞는 상태를 도입했다. 결맞는 상태에 대한 매개변수 공간은 $K$의 " 복소화 "이다. 예를 들어, $K$가 ${\text{SU}}(n)$이면 복소화는 ${\text{SL}}(n,\mathbb {C} )$이다. 이러한 결맞는 상태는 복소화를 넘어 Segal-Bargmann 공간으로 이어지는 항등원의 분해를 가지고 있다. Hall의 결과는 Stenzel에 의해 구를 포함한 콤팩트 대칭 공간으로 확장되었다. $K=\mathrm {SU} (2)$인 경우 열핵 결맞는 상태는 Thiemann과 그의 동료들은 양자 중력 이론에 적용했다. 구성에는 두 개의 서로 다른 리 군이 포함되어 있지만 열핵 결맞는 상태는 페렐로모프 유형이 아니다.

군론적 접근

길모어와 페렐로모프는 독립적으로, 결맞는 상태의 구성이 때때로 군론적 문제로 볼 수 있음을 깨달았다.

이를 살펴보기 위해 잠시 표준 결맞는 상태의 사례로 돌아가 보겠다. 실제로 변위 연산자 $D(\alpha )$는 포크 공간에서 하이젠베르크 군 (바일-하이젠베르크 군이라고도 함) 원소의 대표원에 불과하다. 이 군의 리 대수는 $X,\,P$, $I$에 의해 생성된다. 그러나 표준 결맞는 상태를 진행하기 전에 먼저 일반적인 사례를 살펴보겠다.

$G$가 국소 콤팩트 군이라 하고, 유니터리 연산자 $U(g),\;g\in G$로 힐베르트 공간 ${\mathfrak {H}}$에서 연속적이고 기약 표현 $U$을 가지고 있다고 가정하자. ${\mathfrak {H}}$에 적분

$$c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\,d\mu (g)$$

이 수렴하는 0이 아닌 벡터 $|\psi \rangle$가 존재하는 경우 이 표현을 제곱 적분 가능이라고 한다. 여기서 $d\mu$는 $G$에서 왼쪽 불변 하르 측도다. $c(\psi )<\infty$인 벡터 $|\psi \rangle$는 허용 가능 하다고 하며, 그러한 벡터 하나의 존재는 그러한 벡터들로 이뤄진 ${\mathfrak {H}}$에서 조밀한 집합의 존재를 보장한다는 것을 보여줄 수 있다. 게다가 군 $G$이 유니모듈러라면, 즉, 왼쪽과 오른쪽 불변 측도이 일치하면 한 하나의 벡터가 존재한다는 것은 ${\mathfrak {H}}$의 모든 벡터가 허용 가능함을 의미한다. 제곱 적분 표현 $U$과 허용 가능한 벡터 $|\psi \rangle$에 대해, 벡터

$$|g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(g)|\psi \rangle ,{\text{ for all }}g\in G.$$

를 정의하자. 이러한 벡터는 하이젠베르크 군의 표현 측면에서 작성된 표준 결맞는 상태의 유사체이다(그러나 아래 길모어-페렐로모프 결맞는 상태 절 참조). 다음으로, 항등원의 분해

$$\int _{G}\left|g\right\rangle \left\langle g\right|\,d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}$$

가 ${\mathfrak {H}}$에서 성립 한다는 것을 보일 수 있다 . 따라서 벡터 $|g\rangle$는 일반화된 결맞는 상태 족을 구성한다. ${\mathfrak {H}}$의 모든 벡터 $|\phi \rangle$에 대해 함수 $F(g)=\langle g|\phi \rangle$들은 측도 $d\mu$에 대해 제곱 적분 가능하고, 실제로 $G$의 위상에서 연속적인 함수 집합을 형성하며, $L^{2}(G,d\mu )$의 닫힌 부분 공간을 형성한다. 게다가 사상 $\phi \mapsto F$은 $L^{2}(G,d\mu )$ 사이의 선형 등장사상이며,이 등장사상 하에서 표현 $U$은 $L^{2}(G,d\mu )$에서 $G$의 왼쪽 정규 표현의 부분 표현에 사상된다.

예: 웨이블릿

위 구성의 전형적인 예는 직선의 아핀 군 $G_{\text{Aff}}$에 의해 제공되며, 이것은 해당 유형의 모든 2×2 행렬 군이다.

$$g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}$$

$a$와 $b$ 실수이고 $a\neq 0$ . $g=(b,a)$라 적으면, $\mathbb {R}$에 대한 작용이 $(b,a)\cdot x=b+ax$과 같이 설정되어 있다. 이 군은 유니모듈성이 아니며 왼쪽 불변 측도는 다음$d\mu (b,a)=a^{-2}\,db\,da$과 같이 제공된다.(오른쪽 불변 측도는 $a^{-1}\,db\,da$ ). 아핀 군은 힐베르트 공간 $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$에서 단일한 환원 불가능한 표현을 갖는다. $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$ 안의 벡터들은 실변수 $x$에 대한 측도 가능한 함수 $\varphi (x)$이며 이 표현의 유니터리 연산자 $U(b,a)$은 다음과 같이 작용한다.

$$(U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)$$

만약에 $\psi$가 그 푸리에 변환 ${\widehat {\psi }}$이 허용 가능 조건

$$\int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\,dk<\infty$$

을 만족하는 $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$의 함수이면 이는 허용 가능한 벡터로 표시될 수 있다. 즉,

$$c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\left\vert \left\langle \psi |U(b,a)\psi \right\rangle \right\vert ^{2}\,{\frac {db\,da}{a^{2}}}<\infty \,.$$

따라서 위에서 설명한 일반적인 구성에 따라 벡터

$$|b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(b,a)\psi \,,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}$$

는 일반화된 결맞는 상태의 집합을 정의하고 그 중 하나는 $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$에서 항등원의 분해

$$\int _{G_{\text{Aff}}}\left|b,a\right\rangle \left\langle b,a\right|{\frac {db\,da}{a^{2}}}=I$$

를 갖는다. 신호 분석 문헌에서는 위의 허용 조건을 만족하는 벡터를 마더 웨이블릿(mother wavelet) 이라고 하며 일반화된 결맞는 상태 $|b,a\rangle$를 웨이블릿이라고 한다. 그런 다음 신호는 $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$에서 벡터$|\varphi \rangle$로 식별된다. 그리고 함수

$$F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \,,$$

는 신호 $\varphi$의 연속 웨이블릿 변환이라고 한다.

이 개념은 2차원으로 확장될 수 있다. 군 $G_{\text{Aff}}$는 평면 이동, 회전 및 전역 팽창으로 구성된 소위 평면 유사 군으로 대체된다. 결과적인 2차원 웨이블릿과 그 일부 일반화는 이미지 처리에 널리 사용된다.

길모어-페렐로모프 결맞는 상태

위에서 설명한 군 표현을 사용하여 결맞는 상태를 구성하는 것만으로는 충분하지 않다. 이미 표준 결맞는 상태를 산출할 수 없다. 왜냐하면 이것들은 하이젠베르크 군의 원소에 의해 색인화되지 않고 오히려 중심에 의한 후자의 몫의 점들에 의해 색인화되기 때문이다. 그 몫은 정확하게 $\mathbb {R} ^{2}$이다. 중요한 관찰은 진공 벡터 $|0\rangle$가 하이젠베르크 군의 중심에 대해 불변이란 점이다(페이즈 제외). 이 아이디어를 일반화하여 길모어와 페렐로모프 는 국소 콤팩트 군 $G$과 힐베르트 공간 ${\mathfrak {H}}$에서 반드시 제곱 적분 가능하지는 않은 $G$의 유니터리 기약 표현 $U$을 고려한다. ${\mathfrak {H}}$안에서 벡터 $|\psi \rangle$를 크기 1로 수정하고, $|\psi \rangle$가 페이즈를 제외하고 불변이 되는 원소 $h$, 즉,

$$U(h)\left|\psi \right|\rangle =e^{i\omega (h)}\left|\psi \right\rangle \,,$$

인 원소들로 이뤄진 $G$의 부분 군을 $H$라 하자. 여기서 $\omega$는 $h$에 대한 실수 값 함수이다. $X=G/H$를 왼쪽 coset 공간, $x$는 $X$의 임의의 원소라 하자. 각 coset의 대표원 $g(x)\in G$대해 , 우리는 벡터를 정의한다

$$|x\rangle =U(g(x))\left|\psi \right\rangle \in {\mathfrak {H}}.$$

coset 대표자의 특정 선택에 대한 이러한 벡터의 의존성 $g(x)$ 단계를 통해서만 가능한다. 실제로, 대신에 $g(x)$, 우리는 다른 대표자를 선택했다 $g(x)'\in G$ 같은 화장품을 위해 $x$, 그 이후로 $g(x)'=g(x)h$ 일부 $h\in H$, 우리는해야 $U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle$ . 따라서 양자역학적으로 두 가지 모두 $|x\rangle$ 그리고 $U(g(x)')|\psi \rangle$ 동일한 물리적 상태, 특히 투영 연산자를 나타냅니다. $\left|x\right\rangle \left\langle x\right|$ coset에만 의존한다. 벡터 $|x\rangle$ 이러한 방식으로 정의된 것을 길모어-페렐로모프 결맞는 상태 라고 한다. 부터 $U$ 는 환원 불가능한 것으로 가정되며, 이 모든 벡터의 집합은 다음과 같다. $x$ 통과하다 $G/H$ 밀집되어 있다 ${\mathfrak {H}}$ . 일반화된 결맞는 상태에 대한 이러한 정의에서는 동일성의 해결이 가정되지 않다. 그러나 만일 $X$ 자연적인 작용에 따라 불변의 측도을 전달한다. $G$, 그리고 형식 연산자인 경우 $B$ ~로써 정의 된

$$B=\int _{X}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)\,,$$

제한되어 있는 경우 이는 반드시 ID의 배수이고 ID의 해상도가 다시 검색된다.

길모어-페렐로모프 결맞는 상태는 양자 군으로 일반화되었지만 이를 위해 문헌을 참조한다.

추가 일반화: coset 공간의 결맞는 상태

페렐로모프 구성은 국부적으로 콤팩트 군에 대한 결맞는 상태를 정의하는 데 사용할 수 있다. 반면에, 특히 길모어-페렐로모프 구성이 실패한 경우, 군의 균질 공간에 대한 제곱 적분성 개념을 일반화하는 군 표현을 사용하여 일반화된 결맞는 상태의 다른 구성이 존재한다.

간단히 말해서, 이 접근 방식에서는 단일한 환원 불가능한 표현으로 시작한다. $U$ 벡터를 찾으려고 시도한다. $|\psi \rangle$, 부분 군 $H$ 그리고 단면 $\sigma :G/H\to G$ 그렇게

$$|\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,$$

여기서 $|x\rangle =U(\sigma (x))\left|\psi \right\rangle$, $T$ 는 제한된 역수와 제한된 양의 연산자이다. $d\mu$ 에 대한 준불변 측도이다. $X=G/H$ . 가정되지는 않다. $|\psi \rangle$의 작용 하에 있는 단계까지 불변적이어야 한다. $H$ 그리고 분명히 가장 좋은 상황은 $T$ ID의 배수이다. 다소 기술적이긴 하지만, 이 일반적인 구성은 다음 유형의 반직접 제품 군에 대해 엄청난 다양성을 제공한다. $\mathbb {R} ^{n}\rtimes K$, 여기서 $K$ 은(는) 폐쇄된 부분 군이다. $GL(n,\mathbb {R} )$ . 따라서 이는 이전 정의의 의미에서 정사각형 통합 표현을 갖지 않는 Poincaré 군 또는 Euclidean 군과 같은 물리적으로 중요한 많은 군에 유용한다. 특히, 연산자를 정의하는 적분 조건 $T$ 모든 벡터가 보장된다. $|\phi \rangle$ ~에 ${\mathfrak {H}}$ 일반화된 결맞는 상태의 관점에서 작성될 수 있다. $|x\rangle$ 즉,

$$|\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,$$

이것이 모든 종류의 결맞는 상태의 주요 목표이다.

결맞는 상태: 측정 집합의 양자화를 위한 베이지안 구성

우리는 이제 표준 상황에서 벗어나 표준 결맞는 상태에 대한 고조파 발진기 해밀턴과 마찬가지로 일부 자기 수반 연산자의 고유 상태의 중첩으로 이러한 객체의 구조에 대한 몇 가지 관찰을 시작으로 결맞는 상태를 구성하는 일반적인 방법을 제시한다. . 이러한 중첩이 확률적인 특징을 갖는다는 것이 양자역학의 본질이다. 사실, 우리는 표준 결맞는 상태의 확률적 구조가 그 구성의 기초가 되는 두 가지 확률 분포와 관련되어 있음을 알 수 있다. 일종의 이중성에는 탐지 확률을 지배하는 포아송 분포가 있다. $n$ 양자 시스템이 결맞는 상태에 있을 때 여기 $|z\rangle$, 그리고 집합의 감마 분포 $\mathbb {C}$ 더 정확하게는 범위에 있는 복소한 매개변수 $\mathbb {R} ^{+}$ 방사형 변수의 제곱이다. 일반화는 이중성 체계를 따릅니다. 허락하다 $X$ 측도을 갖춘 매개변수 집합이다. $\mu$ 그리고 그에 연관된 힐베르트 공간 $L^{2}(X,d\mu )$ 복소수 함수, 제곱 적분 가능 $\mu$ . 우리가 선택하자 $L^{2}(X,d\mu )$ 유한하거나 셀 수 있는 정규직교 집합 ${\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}$ :

$$\langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.$$

무한한 가산성의 경우, 이 집합은 (중요한) 유한성 조건을 따라야 합니다.

$$0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.$$

허락하다 ${\mathfrak {H}}$ 정규 직교 기저를 갖는 분리 가능한 복소 힐베르트 공간이어야 한다. $\{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}$의 원소와 일대일로 대응한다. ${\mathcal {O}}$ . 위의 두 조건은 표준화된 결맞는 상태의 계열이 ${\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}$ ~에 ${\mathfrak {H}}$, 이는 다음과 같이 정의된다.

$$|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,$$

에서 정체성을 해결합니다. ${\mathfrak {H}}$ :

$$\int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=I_{\mathfrak {H}}\,.$$

이러한 관계를 통해 매개변수 집합의 결맞는 상태 또는 프레임 양자화를 구현할 수 있다. $X$ 함수에 연결하여 $X\ni x\mapsto f(x)$ 다음 연산자의 적절한 조건을 만족하는 ${\mathfrak {H}}$ :

$$f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|.$$

The operator $A_{f}$ is symmetric if $f(x)$ is real-valued, and it is self-adjoint (as a quadratic form) if $f(x)$ is real and semi-bounded. The original $f(x)$ is an upper symbol, usually non-unique, for the operator $A_{f}$. It will be called a classical observable with respect to the family ${\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}$ if the so-called lower symbol of $A_{f}$, defined as

$${\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.$$

원래 집합에 부여된 추가 위상수학적 특성에 따라 정밀하게 만들어지는 가벼운 함수적 특성이 있다. $X$ . 양자 상태 공간 구성의 마지막 요점은 통계적 측면에 관한 것이다. 실제로 두 가지 확률 분포 사이에는 상호 작용이 있다.

For almost each $x$, a discrete distribution,

$$n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}}{{\mathcal {N}}(x)}}.$$

This probability could be considered as concerning experiments performed on the system within some experimental protocol, in order to measure the spectral values of a certain self-adjoint operator $A$, i.e., a quantum observable, acting in ${\mathfrak {H}}$ and having the discrete spectral resolution ${\textstyle A=\sum _{n}a_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|}$.

For each $n$, a continuous distribution on $(X,\mu )$,

$$X\ni x\mapsto \vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,.$$

Here, we observe a Bayesian duality typical of coherent states. There are two interpretations: the resolution of the unity verified by the coherent states $|x\rangle$ introduces a preferred prior measure on the set $X$, which is the set of parameters of the discrete distribution, with this distribution itself playing the role of the likelihood function. The associated discretely indexed continuous distributions become the related conditional posterior distribution. Hence, a probabilistic approach to experimental observations concerning $A$ should serve as a guideline in choosing the set of the $\phi _{n}(x)$'s. We note that the continuous prior distribution will be relevant for the quantization whereas the discrete posterior one characterizes the measurement of the physical spectrum from which is built the coherent superposition of quantum states $|e_{n}\rangle$.

같이보기

• 결맞는 상태
• 리 추측
• 양자화

각주

[[분류:수리물리학]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]