가쿠타니 사상

수학과 경제학에서 가쿠타니 사상([角谷]寫像, 영어: Kakutani map)은 고정점을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는, 정의역의 멱집합을 공역으로 갖는 함수이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$
$V$ 의 부분 집합 $S\neq \varnothing$

함수

f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 가쿠타니 사상이라고 한다.^[1]^{:166, Definition 7.8.1} (여기서 $\operatorname {Pow} (-)$ 는 멱집합을 뜻한다.)

각 $s\in S$ 에 대하여, $f(s)$ 는 공집합이 아니며, 콤팩트 집합이며, 볼록 집합이다.
각 열린집합 $U\subseteq V$ 에 대하여, $\{s\in S\colon f(s)\subseteq U\}$ 는 $S$ 의 열린집합이다.

가쿠타니 사상 $f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)$ 의 고정점은 (만약 존재한다면) $s\in f(s)$ 가 성립하는 점 $s\in S$ 이다.

성질

가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리([角谷]-Glicksberg-[樊]固定點定理, 영어: Kakutani(–Glicksberg–Fan) fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.^[1]^{:169, Theorem 7.8.6}

실수 하우스도르프 국소 볼록 공간

V

속의, 공집합이 아닌, 콤팩트 볼록 집합

S\subseteq V

위의 임의의 가쿠타니 사상

f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)

은 고정점을 갖는다.

샤우데르 고정점 정리(영어: Schauder fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.^[1]^{:168, Theorem 7.8.4}

실수 노름 공간

(V,\|\|)

속의, 공집합이 아닌, 볼록 집합

S\subseteq V

위의 임의의 가쿠타니 사상

f\colon S\to \operatorname {Pow} (S)

이 주어졌다고 하자. 만약

\textstyle \bigcup _{s\in S}f(s)

가 콤팩트 집합이라면,

f

는 고정점을 갖는다.

(이 경우, 정의역이 콤팩트 집합일 필요가 없다.)

예

임의의 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S$ 위의 연속 자기 함수 $f\colon S\to S$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\phi \colon S\to \operatorname {Pow} (S)

\phi \colon s\mapsto \{f(s)\}

를 정의하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\phi$ 가 가쿠타니 사상이다.
$f$ 가 연속 함수이다.

특히, 만약 $V$ 가 추가로 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간이며 $S$ 가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 때, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 의하여, 만약 $f$ 가 연속 함수라면 $f(s)=s$ 인 $s\in S$ 가 존재한다. 이 특수한 경우를 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리(Brouwer-Schauder-Тихонов固定點定理, 영어: Brouwer–Schauder–Tychonoff fixed point theorem)라고 한다.

반례

원소의 상이 볼록 집합이 아닐 때, 가쿠타니 고정점 정리의 반례. 함수

f

의 그래프는 검은 선으로 표시되었다. 그래프가 대각선(붉은 점선)과 교차하지 않으므로, 이는 고정점을 갖지 않는다.

가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에서, 모든 원소의 상이 볼록 집합이어야 한다는 조건을 생략한다면 이 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각하자.

f\colon x\mapsto {\begin{cases}\{3/4\}&0\leq x<1/2\\\{1/4,3/4\}&x=1/2\\\{1/4\}&1/2<x\leq 1\\\end{cases}}

이는 $x=1/2$ 에서 $f(1/2)=\{1/4,3/4\}$ 는 닫힌집합이지만 볼록 집합이 아니며, 고정점을 갖지 않는다.

응용

가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학과 게임 이론에 응용된다. 특히, 내시 평형의 존재를 가쿠타니 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

역사

1904년에 피에르스 볼(라트비아어: Piers Bohl, 1865~1921)이 3차원 유클리드 공간에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다.^[2] 1910년에 라위트전 브라우어르와 자크 아다마르^[3]는 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다.

1930년에 율리우시 샤우데르가 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 임의의 실수 바나흐 공간의 경우에 대하여 일반화하였으며,^[4] 1935년에 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 추가로 일반화하였다.^[5]

가쿠타니 시즈오가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다.^[6] 이후 어빙 레너드 글릭스버그(영어: Irving Leonard Glicksberg)^[7]^:171와 판지(중국어: 樊⿰土畿, 병음: Fán Jí, 한자음: 번기, 영어: Ky Fan, 1914~2010)^[8]^{:Theorem 1}가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다.

켄 빈모어(영어: Ken Binmore)는 다음과 같은 일화를 저서에 수록하였다.

“	언젠가 일본의 수학자 가쿠타니가 내게 왜 자신의 강의에 수많은 경제학자들이 참석하였는지 물었다. 나는 그가 가쿠타니 고정점 정리 때문에 유명인이기 때문이라고 대답했는데, 가쿠타니는 다음과 같이 되물었다. “가쿠타니 고정점 정리가 뭡니까?” A long time ago, the Japanese mathematician Kakutani asked me why so many economists had attended the lecture he had just given. When I told him that he was famous because of the Kakutani fixed-point theorem, he replied, “What is the Kakutani fixed-point theorem?”	”
	— ^[9]^{:256, §8.3}

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Granas, Andrzej; James, Dugundji (2003). 《Fixed point theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. ISBN 978-0-387-00173-9. ISSN 1439-7382.
↑ Bohl, Piers (1904). “Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127 (3–4): 179–276. doi:10.1515/crll.1904.127.179. ISSN 0075-4102.
↑ Hadamard, Jacques (1910). 〈Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker〉. 《Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Tome deuxième. Intégrales définies, développements en série. Langage géométrique, fonctions de variables imaginaires》 (프랑스어) 2판. Librarie scientifique A. Hermann & fils. 436–477쪽.
↑ Schauder, J. (1930). “Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen” (PDF). 《Studia Mathematica》 (독일어) 2: 171–180. ISSN 0039-3223.
↑ Tychonoff, Andrey (1935). “Ein Fixpunktsatz”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 111: 767–776. doi:10.1007/BF01472256.
↑ Kakutani, Shizuo (1941). “A generalization of Brouwer's fixed point theorem”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4. MR 4776. Zbl 0061.40304.
↑ Glicksberg, Irving L. (1952). “A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (1): 170–174. doi:10.2307/2032478. JSTOR 2032478.
↑ Fan, Ky (1952). “Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 38 (2): 121–126. doi:10.1073/pnas.38.2.121. PMC 1063516. PMID 16589065.
↑ Binmore, Ken (2007). 《Playing for real: a text on game theory》 (영어). Oxford University Press.

외부 링크

“Kakutani theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Brouwer theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Schauder theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Brouwer fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Schauder fixed point theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Brouwer's fixed point theorem”. 《nLab》 (영어).

[GD-1] 가 ^나 ^다 Granas, Andrzej; James, Dugundji (2003). 《Fixed point theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. ISBN 978-0-387-00173-9. ISSN 1439-7382.

[2] Bohl, Piers (1904). “Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127 (3–4): 179–276. doi:10.1515/crll.1904.127.179. ISSN 0075-4102.

[3] Hadamard, Jacques (1910). 〈Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker〉. 《Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Tome deuxième. Intégrales définies, développements en série. Langage géométrique, fonctions de variables imaginaires》 (프랑스어) 2판. Librarie scientifique A. Hermann & fils. 436–477쪽.

[4] Schauder, J. (1930). “Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen” (PDF). 《Studia Mathematica》 (독일어) 2: 171–180. ISSN 0039-3223.

[5] Tychonoff, Andrey (1935). “Ein Fixpunktsatz”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 111: 767–776. doi:10.1007/BF01472256.

[6] Kakutani, Shizuo (1941). “A generalization of Brouwer's fixed point theorem”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4. MR 4776. Zbl 0061.40304.

[7] Glicksberg, Irving L. (1952). “A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (1): 170–174. doi:10.2307/2032478. JSTOR 2032478.

[8] Fan, Ky (1952). “Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 38 (2): 121–126. doi:10.1073/pnas.38.2.121. PMC 1063516. PMID 16589065.

[9] Binmore, Ken (2007). 《Playing for real: a text on game theory》 (영어). Oxford University Press.

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