체 K {\displaystyle K} 위의 설리번 대수 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[3] :Definition 1.10
정렬 집합 ( B , ≤ ) {\displaystyle (B,\leq )} . 이로부터 K {\displaystyle K} -벡터 공간 V = Span K B {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}B} 을 정의할 수 있다.
함수 deg : B → N {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} } . 이로부터 등급 벡터 공간 V = ⨁ i ∈ N V i {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}} , V i = Span { b ∈ B : deg b = i } {\displaystyle \textstyle V_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}} 을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)} 를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K {\displaystyle K} -등급 대수 를 이룬다.
함수 d : B → ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to \bigwedge (V)} . 이는 선형성 및 곱 규칙 을 사용하여 미분 연산 d : ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)} 로 연장된다. 이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여, d b ∈ ⋀ ( Span K { c ∈ B : c < b } ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in \bigwedge (\operatorname {Span} _{K}\{c\in B\colon c<b\})} 이다.
( ⋀ ( V ) , ∧ , d ) {\displaystyle \textstyle (\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )} 는 가환 미분 등급 대수 를 이룬다.설리번 대수 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 최소 설리번 대수 (最少Sullivan代數, 영어 : minimal Sullivan algebra )라고 한다.
deg : ( B , ≤ ) → ( N , ≤ ) {\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )} 는 증가 함수 이다. 즉, 임의의 b , c ∈ B {\displaystyle b,c\in B} 에 대하여 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} 라면 deg b ≤ deg c {\displaystyle \deg b\leq \deg c} 이다.[3] :Definition 1.10 상대 설리번 대수
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보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.
체 K {\displaystyle K} 위의 가환 미분 등급 대수 A {\displaystyle A} 위의 상대 설리번 대수 (相對Sullivan代數, 영어 : relative Sullivan algebra )는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
정렬 집합 ( B , ≤ ) {\displaystyle (B,\leq )} . 이로부터 K {\displaystyle K} -벡터 공간 V = Span K B {\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}B} 을 정의할 수 있다.
함수 deg : B → N {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} } . 이로부터 등급 벡터 공간 V = ⨁ i ∈ N V i {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}} , V i = Span { b ∈ B : deg b = i } {\displaystyle \textstyle V_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}} 을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)} 를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K {\displaystyle K} -등급 대수 를 이룬다.
함수 d : B → A ⊗ K ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to A\otimes _{K}\bigwedge (V)} . 이를 선형성 및 곱 규칙 에 따라 d : A ⊗ K ⋀ ( V ) → A ⊗ K ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon A\otimes _{K}\bigwedge (V)\to A\otimes _{K}\bigwedge (V)} 로 연장시킬 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 및 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여, d b ∈ A ⊗ K ⋀ ( Span K { c ∈ B : c < b } ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in A\otimes _{K}\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}\{c\in B\colon c<b\})} 이다.
( A ⊗ K ⋀ ( V ) , ∧ , d ) {\displaystyle \textstyle (A\otimes _{K}\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )} 는 가환 미분 등급 대수 를 이룬다.이 정의에서, 만약 deg : ( B , ≤ ) → ( N , ≤ ) {\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )} 가 증가 함수 라면, 이를 최소 상대 설리번 대수 (最小相對Sullivan代數, 영어 : minimal relative Sullivan algebra )라고 한다.
설리번 대수는 ( K , d = 0 ) {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)} 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 ( K , d = 0 ) {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)} 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.
가환 미분 등급 대수 A {\displaystyle A} 에 대한 임의의 상대 설리번 대수 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 에 대하여, 임의의 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여, B ′ = { b ′ ∈ B : b ′ < b } {\displaystyle B'=\{b'\in B\colon b'<b\}} 를 정의하면, ( B ′ , ≤↾ B ′ 2 , deg ↾ B ′ , d ↾ B ′ ) {\displaystyle (B',\leq \upharpoonright B'^{2},\deg \upharpoonright B',\mathrm {d} \upharpoonright B')} 역시 A {\displaystyle A} 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 ↾ {\displaystyle \upharpoonright } 은 함수의 제한을 뜻한다.)
또한, 만약 B {\displaystyle B} 가 최소 상대 설리번 대수라면 B ′ {\displaystyle B'} 역시 최소 상대 설리번 대수이다.
낮은 차수가 자명한 설리번 대수
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집합 B {\displaystyle B} 및 함수
deg : B → N {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} } 및 임의의 함수
d : B → V = ⋀ ( Span K B ) {\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)} 가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙 을 사용하여
d : V → V {\displaystyle \mathrm {d} \colon V\to V} 로 연장시킬 수 있다. ( V , d , ∧ ) {\displaystyle (V,\mathrm {d} ,\wedge )} 가 미분 등급 대수 를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[3] :Remark 1.11
만약 ∀ b ∈ B : deg b ≥ 2 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2} 라면, B {\displaystyle B} 위에는 항상 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 를 부여할 수 있다.
만약 ∀ b ∈ B : deg b ≥ 2 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2} 이며, 임의의 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 에 대하여 d b ∈ ⨁ n ≥ 2 ( Span K B ) ∧ n {\displaystyle \mathrm {d} b\in \textstyle \bigoplus _{n\geq 2}(\operatorname {Span} _{K}B)^{\wedge n}} 이라면 (즉, d b {\displaystyle \mathrm {d} b} 가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합 이라면), B {\displaystyle B} 위에는 항상 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 ≤ {\displaystyle \leq } 를 부여할 수 있다. 또한, 만약 ∀ b ∈ B : deg b ≥ 2 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2} 일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사 로 대응한다.
위상 공간의 설리번 대수
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임의의 단체 복합체 (와 호모토피 동치 인 위상 공간 ) X {\displaystyle X} 에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식 의 설리번 대수 A PL ( X ) {\displaystyle A_{\text{PL}}(X)} 를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. 형식적 공간 (영어 : formal space )은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체 와 호모토피 동치 인 위상 공간 이다.
위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 유리수 호모토피 동치 (영어 : rational homotopy equivalence )와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.
위상 공간의 호모토피 군
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단체 복합체 와 호모토피 동치 인 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수 가 설리번 대수 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 와 유사동형이라고 하자. 또한, X {\displaystyle X} 가 멱영 공간 이라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
π i ( X ) ⊗ Z Q ≅ Span Q deg − 1 ( i ) {\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \operatorname {Span} _{\mathbb {Q} }\deg ^{-1}(i)} 즉, X {\displaystyle X} 의 i {\displaystyle i} 차 호모토피 군의 계수는 차수 i {\displaystyle i} 를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.
코호몰로지
⨁ i H i ( X ) {\displaystyle \bigoplus _{i}\operatorname {H} ^{i}(X)} 의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 X {\displaystyle X} 는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.
타원형 (영어 : elliptic ): dim ⨁ i π i ( X ) < ∞ {\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)<\infty }
쌍곡형 (영어 : hyperbolic ): dim ⨁ i π i ( X ) = ∞ {\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)=\infty } 타원형 최소 설리번 대수 X {\displaystyle X} 에 대하여, 그 생성원의 차수들이
2 a 1 , 2 a 2 , … , 2 a p {\displaystyle 2a_{1},2a_{2},\dotsc ,2a_{p}} 및
2 b 1 − 1 , 2 b 2 − 2 , … , 2 b q − 1 {\displaystyle 2b_{1}-1,2b_{2}-2,\dotsc ,2b_{q}-1} 라고 하자. 즉, p {\displaystyle p} 개의 짝수 차수 생성원과 q {\displaystyle q} 개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.[3] :Theorem 2.27
∑ i ( 2 b i − 1 ) − ∑ j ( 2 a j − 1 ) = fdim X {\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)-\sum _{j}(2a_{j}-1)=\operatorname {fdim} X}
∑ j a j ≤ 1 2 fdim X {\displaystyle \sum _{j}a_{j}\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {fdim} X}
∑ i ( 2 b i − 1 ) ≤ 2 ( fdim X ) − 1 {\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)\leq 2(\operatorname {fdim} X)-1}
p ≤ q {\displaystyle p\leq q} 여기서
fdim X = max { n ∈ N : H n ( X ) ≠ 0 } {\displaystyle \operatorname {fdim} X=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{n}(X)\neq 0\}} 은 X {\displaystyle X} 의 형식적 차원 (영어 : formal dimension )이다.
쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.
호모토피 군 들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, ∀ n ≥ N : ∑ i n π n ( X ) ≥ C n {\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum _{i}^{n}\pi _{n}(X)\geq C^{n}} 이 되는 실수 C > 1 {\displaystyle C>1} 및 자연수 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 이 존재한다.[3] :Theorem 2.33
임의의 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 에 대하여, π i ( X ) ≠ 0 {\displaystyle \pi _{i}(X)\neq 0} 이며 k < i < k + n {\displaystyle k<i<k+n} 인 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 가 존재한다.[3] :Theorem 2.34
임의의 k ≫ 1 {\displaystyle k\gg 1} 에 대하여, ∀ n ≥ N : ∑ i = k + 1 k + n − 1 dim π i ( X ) ≥ dim π k ( X ) dim H ∙ ( X ) {\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum _{i=k+1}^{k+n-1}\dim \pi _{i}(X)\geq {\frac {\dim \pi _{k}(X)}{\dim \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}}} 인 k < i < k + n {\displaystyle k<i<k+n} 가 존재한다.[3] :Theorem 2.34
자명한 설리번 대수
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임의의 정렬 집합 ( B , ≤ ) {\displaystyle (B,\leq )} 및 임의의 증가 함수
deg : B → N {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} } 에 대하여, 자명한 미분
d b = 0 {\displaystyle \mathrm {d} b=0} 을 부여하자. 그렇다면, ( B , ≤ , deg , 0 ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,0)} 은 최소 설리번 대수를 이룬다.
특히, B = ∅ {\displaystyle B=\varnothing } 일 때, ( K , d = 0 ) {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)} 은 K {\displaystyle K} 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.
홀수 차원 초구
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n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 유리수 계수 코호몰로지 는 다음과 같다.
dim Q H k ( S n ) ⊗ Z Q = { 1 k = 0 , n 0 k ≠ 0 , n {\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {S} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}} 따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n {\displaystyle n} 의 생성원 a {\displaystyle a} 하나만을 가지며, 이 경우 d a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} a=0} 이다.[2] :259–260, Example 19.1 즉,
B = { a } {\displaystyle B=\{a\}}
deg : a ↦ 1 {\displaystyle \deg \colon a\mapsto 1}
d a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} a=0} 이다.
짝수 차원 초구
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짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n {\displaystyle n} 의 생성원 a {\displaystyle a} 를 가지지만, a {\displaystyle a} 가 짝수 차수를 가지므로 a 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}\neq 0} 이다. 따라서, a 2 {\displaystyle a^{2}} 가 코호몰로지류 를 이루는 것을 막기 위해, 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 차의 생성원 b {\displaystyle b} 를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.[2] :260, Example 19.2
B = { a , b } {\displaystyle B=\{a,b\}}
a < b {\displaystyle a<b}
deg : a ↦ n {\displaystyle \deg \colon a\mapsto n}
deg : b ↦ 2 n − 1 {\displaystyle \deg \colon b\mapsto 2n-1}
d a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} a=0}
d b = a 2 {\displaystyle \mathrm {d} b=a^{2}} 이에 따라, 초구의 호모토피 군 의 계수 를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군 을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)
복소수 사영 공간
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복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 의 유리수 계수 코호몰로지는
dim Q H k ( C P n ) ⊗ Z Q = { 1 k = 0 , 2 , … , 2 n 0 k ≠ 0 , 2 , … , 2 n {\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {CP} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,2,\dots ,2n\\0&k\neq 0,2,\dots ,2n\end{cases}}} 이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.[2] :260, Example 19.3
B = { a , b } {\displaystyle B=\{a,b\}}
a < b {\displaystyle a<b}
deg a = 2 {\displaystyle \deg a=2}
deg b = 2 n + 1 {\displaystyle \deg b=2n+1}
d a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} a=0}
d b = a n + 1 {\displaystyle \mathrm {d} b=a^{n+1}} 무한 차원 복소수 사영 공간 C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} 의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 b {\displaystyle b} 가 없어져 더 간단하다.
deg a = 2 {\displaystyle \deg a=2}
d a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} a=0} 비형식적 최소 설리번 대수
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형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.
B = { a , b , x , y } {\displaystyle B=\{a,b,x,y\}}
a < b < x < y {\displaystyle a<b<x<y}
deg a = 2 , deg b = deg x = 3 , deg y = 4 {\displaystyle \deg a=2,\quad \deg b=\deg x=3,\quad \deg y=4}
d a = d b = 0 , d x = a 2 , d y = a b {\displaystyle \mathrm {d} a=\mathrm {d} b=0,\qquad \mathrm {d} x=a^{2},\qquad \mathrm {d} y=ab} 이 설리번 대수의 코호몰로지는 [ a ] {\displaystyle [a]} , [ b ] {\displaystyle [b]} , [ x b − a y ] {\displaystyle [xb-ay]} 로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 f {\displaystyle f} 는 차수의 제약에 따라
f ( a ) ∝ [ a ] {\displaystyle f(a)\propto [a]}
f ( y ) = 0 {\displaystyle f(y)=0}
f ( b ) ∝ [ b ] {\displaystyle f(b)\propto [b]}
f ( x ) ∝ [ b ] {\displaystyle f(x)\propto [b]} 가 되는데, 따라서
f ( x b − a y ) = f ( x ) f ( b ) − f ( a ) f ( y ) = 0 {\displaystyle f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0} 이 된다. 따라서, f {\displaystyle f} 는 유사동형이 될 수 없다.
설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조
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다음과 같은 구성을 생각하자.
B = { x , y , z } {\displaystyle B=\{x,y,z\}}
deg x = deg y = deg z = 1 {\displaystyle \deg x=\deg y=\deg z=1}
V = ⋀ ( Span K B ) {\displaystyle V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)}
d x = y z {\displaystyle \mathrm {d} x=yz}
d y = z x {\displaystyle \mathrm {d} y=zx}
d z = x y {\displaystyle \mathrm {d} z=xy} 이는 가환 미분 등급 대수 를 이루며, V {\displaystyle V} 는 B {\displaystyle B} 로 생성되는 외대수 이지만, B {\displaystyle B} 위에는 ( B , ≤ , deg , d ) {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )} 가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 ≤ {\displaystyle \leq } 를 줄 수 없으며, Span K B {\displaystyle \operatorname {Span} _{K}B} 의 다른 기저 를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.[3] :Example 1.12
참고 문헌
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외부 링크
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