스콧 계략

집합론에서 스콧 계략(-計略, 영어: Scott’s trick)은 집합에 대하여 정의된 개념을 모임 위로 확장하는 방법이다. 필요한 경우에, 모임이 집합이 되도록 크기를 줄이는 것을 골자로 한다. 정칙성 공리를 사용하며, 선택 공리를 필요로 하지 않는다.

정의

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 모임 $X$에 대하여,

${\hat {X}}=\{A\in X|\forall B\in X\colon \operatorname {rank} A\leq \operatorname {rank} B\}\subseteq X$

가 $X$의 원소 가운데 폰 노이만 전체에서의 계수가 최소인 것들의 모임이라고 하자.^:65 이러한 최소의 계수가 $\alpha$라고 할 때, ${\hat {X}}$는 집합 $V_{\alpha +1}$의 부분 모임이다. 즉, ${\hat {X}}$는 집합이다. ${\hat {X}}=\varnothing$일 필요충분조건은 $X=\varnothing$이다. 이를 스콧 계략이라고 한다.

예

동치류

 이 부분의 본문은 동치 관계입니다.

모임 위에 동치 관계가 주어졌을 때, 동치류는 고유 모임일 수 있으므로, 동치류들의 모임을 정의할 수 없다. 그러나 동치류들에 스콧 계략을 가하여 만든 집합들은 동치류들과 일대일 대응하므로, 이 집합들로 구성된 모임을 동치류들의 모임으로 여길 수 있다.

특히, 선택 공리 없이도 기수나 동형류를 집합으로서 정의할 수 있다.

정초 관계

 이 부분의 본문은 정초 관계입니다.

모임 위에 이항 관계가 주어졌을 때, 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 극소 원소를 갖는다는 사실은 공집합이 아닌 모든 부분 모임이 극소 원소를 갖는다는 사실을 함의한다. 이에 대한 증명은 스콧 계략을 사용한다. 구체적으로, 이 증명은 모임 $X$ 위의 이항 관계 $R\subseteq X\times X$의 왼쪽 성분들의 모임

$\{A\in X|\exists B\in Y\colon (A,B)\in R\}\qquad (Y\subseteq X)$

에 대하여 스콧 계략을 가한다.

역사

데이나 스콧이 1955년 7월 18일 브리티시컬럼비아 대학교 밴쿠버 캠퍼스에서 열린 제515회 미국 수학회 회의에서 소개하였다.^{:442, 626t}

외부 링크

• “Scott's trick”. 《nLab》 (영어).