시그마 대수

측도론에서 시그마 대수(σ代數, 영어: sigma-algebra)는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.

정의

시그마 대수

불 대수 $\Sigma$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 (추상적) 시그마 대수(영어: (abstract) sigma-algebra)라고 한다.^{:§2.3:Definition 1}

• (가산 상완비성) $\Sigma$의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다.
• (가산 하완비성) $\Sigma$의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.

시그마 대수 준동형

두 시그마 대수 $\Sigma$, $\Sigma '$ 사이의 시그마 대수 준동형(영어: sigma-algebra homomorphism) $f\colon \Sigma \to \Sigma '$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq \Sigma$에 대하여, $\textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)$이다. (특히, $A=\varnothing$일 경우, $f(\bot _{\Sigma })=\bot _{\Sigma '}$이다.)
• 임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq \Sigma$에 대하여, $\textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)$이다. (특히, $A=\varnothing$일 경우, $f(\top _{\Sigma })=\top _{\Sigma '}$이다.)
• 임의의 원소 $s\in \Sigma$에 대하여, $\textstyle f(\lnot s)=\bigvee f(\lnot s)$이다.

여기서 $\top$과 $\bot$은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 $\operatorname {\sigma Alg}$를 이룬다.

시그마 아이디얼

시그마 대수 $\Sigma$의 시그마 아이디얼(영어: sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 $I\subseteq \Sigma$이다.^{:Definition 2.3.7}

• 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 $I'\subseteq I$에 대하여, $\textstyle \sup _{\Sigma }I'\in I$이다.

불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 $\Sigma /I$를 정의할 수 있으며, $I$가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 $\Sigma /I$라고 한다.^{:Definition 2.3.7}

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
								⇓
				⇓		⇓		시그마 대수
								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

분배 법칙

시그마 대수 $\Sigma$의 원소 $a,b_{0},b_{1},\dots \in \Sigma$에 대하여, 다음이 성립한다.^:(1)

$a\land \bigvee _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigvee _{i=0}^{\infty }(a\land b_{i})$

$a\lor \bigwedge _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigwedge _{i=0}^{\infty }(a\lor b_{i})$

크기

기수 $\kappa$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $|B|=\kappa$인 완비 불 대수 $B$가 존재한다.
• $|B|=\kappa$인 시그마 대수 $B$가 존재한다.
• 만약 $\kappa$가 무한 기수라면, $\kappa ^{\aleph _{0}}=\kappa$이다. 만약 $\kappa$가 유한 기수라면, $\kappa =2^{n}$인 기수 $n$이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 $2^{\aleph _{0}}$ 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 $2^{\aleph _{0}}$이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 $S$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(S)$와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리

루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 영어: Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 $\Sigma$에 대하여,

$\Sigma \cong \Sigma '/I$

가 되는

• 집합 $X$
• 시그마 대수 $\Sigma '\subseteq {\mathcal {P}}(X)$
• $\Sigma '$의 시그마 아이디얼 $I\subseteq \Sigma '$

가 존재한다.^{:2.3.10:167, Theorem 5.8:255, Theorem XI.3} 그러나 일반적으로 $I=\varnothing$이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

범주론적 성질

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

예

집합 $X$의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

측도 공간

가측 공간 $(X,\Sigma )$에서, $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$는 정의에 따라 ${\mathcal {P}}(X)$의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$에서, $\mu$-영집합들의 족

$\operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}$

은 $\Sigma$의 시그마 아이디얼을 이루며, $\Sigma /\operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )$는 시그마 대수를 이룬다.

구체적이지 않은 시그마 대수

폐구간의 보렐 시그마 대수 $\operatorname {Borel} ([0,1])$에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 $\operatorname {Null} ([0,1])\subseteq \operatorname {Borel} ([0,1])$을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 $\operatorname {Borel} ([0,1])/\operatorname {Null} ([0,1])$는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.^{:Proposition 2.3.9}

역사와 어원

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.^{:Remark 1.4.13} 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(영어: Lynn Harold Loomis, 1915~1994)와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)^{:256, Theorem 5.3}가 증명하였다.

외부 링크

• “Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어). 
• Tao, Terry. “245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)”. 《What’s New》 (영어). 
• “Definition: sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 9월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함. 
• “Equivalence of definitions of sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2020년 12월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함.