범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- -여과 범주이다.
- 다음 세 조건들을 만족시킨다.
- 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
- (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 에 대하여, 대상 및 두 사상 이 존재한다.
- (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 에 대하여, 가 되는 대상 및 사상 가 존재한다.
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극한의 교환 법칙
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임의의 완비 범주 및 임의의 작은 범주 에 대하여 극한 함자
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를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주 및 임의의 작은 범주 에 대하여 쌍대 극한 함자
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를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주 , 및 함자
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에 대하여, 함자
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및 집합
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를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한의 보편 성질에 의하여 표준적인 함수
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가 존재한다.
작은 범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- -여과 범주이다.
- (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 및 임의의 함자 에 대하여, 표준적인 사상 는 항상 전단사 함수이다.
외부 링크
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