내림 데이터

(내림 이론에서 넘어옴)

범주론에서, 내림 데이터(-data, 영어: descent datum, 프랑스어: donnée de descente)는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(영어: descent theory, 프랑스어: théorie de la descente)이라고 한다.

정의편집

체를 통한 정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 작은 범주  
  •   위의 올범주  
  •   속의 대상  
  •   위의  

그렇다면,  는 함자

 
 
 

로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주

 

를 정의할 수 있다. 여기서  의 대상    로 구성된다. 즉,   위의 올은  이다.

  위의 내림 데이터 -올범주의 사상

 

이다. 즉, 가환 그림

 

을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.

구체적 정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위치  
  •   위의 올범주  
  •  의 대상  
  •  의 덮개  

그렇다면,   위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  에 대하여, 대상  
  • 임의의 사상  에 대하여 ( ),  데카르트 사상  

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  •  일 때,  
  • 임의의  에 대하여 ( ,  ),  

만약 올범주  의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림  이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상보편 성질에 의하여)  는 (유일하게 결정되는) 동형 사상  으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

덮개를 통한 정의편집

체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합  에 대하여 적용되도록 변역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 모든 당김을 갖는 작은 범주  
  •   위의 올범주  
  •  의 대상  
  •  공역으로 하는 사상들의 집합  .

그렇다면,   위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •   및 사상  에 대하여, 대상  
  • 각 가환 오각형  에 대하여,  데카르트 사상  

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  •  에 대하여,  
  • 임의의 당김  에 대하여,  
  • 임의의 가환 그림  에 대하여,  

올범주  의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각   에 대하여 올림

 

가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  에 대하여, 대상  
  •  당김  에 대하여, 동형 사상  

이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 모든  에 대하여  이며,  이다.
  • (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 모든  에 대하여,  . 여기서   의 각종 사영 사상이다.

그렇다면, 임의의 사상  에 대하여  인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

효과적 내림편집

올범주    위의 그로텐디크 위상 및 대상   및 그 덮개  에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

  •   위의 올  
  • 덮개  에 대한 내림 데이터의 범주  

또한,   위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자

 

가 존재한다. 이 함자는  에 대하여,  에 대하여

 

를 대응시킨다.

만약 이 함자  충실충만한 함자라면, 덮개  충실충만한 내림(充實充滿-, 영어: fully faithful descent)을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개  효과적 내림(效果的-, 영어: effective descent)을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터   속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주    위의 그로텐디크 위상에 대하여,

  • 만약   위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면,  준스택(영어: prestack)이라고 한다.
  • 만약   위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면,  스택(영어: stack)이라고 한다.

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연속 함수편집

위상 공간의 범주의 화살표 범주  를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자

 

에 의하여, 이는 올범주를 이루며,   위의 올은 조각 범주  이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉,    위의 스택을 이룬다.

준연접층편집

준연접층  는 스킴의 범주   위의 올범주를 이룬다.   위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서,  는 (fpqc 위상을 부여한)   위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴  에 대하여,  조각 범주   위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

역사편집

내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권[1]에서 도입되었다.

참고 문헌편집

  1. Grothendieck, A., 편집. (1971). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 224. Springer. arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0. ISSN 0075-8434. 

외부 링크편집