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이론에서, fpqc 위상(fpqc位相, 영어: fpqc topology)은 스킴범주 위에 정의되는 매우 섬세한 그로텐디크 위상이다. 이러한 섬세함에도 불구하고, fpqc 위상에서 다양한 내림 이론을 전개할 수 있다.

정의편집

fpqc 위상편집

fpqc 사상(영어: fpqc morphism)은 다음 조건들을 만족시키는 스킴 사상  이다.[1]:Definition 2.34

스킴범주  는 모든 쌍대곱을 가지며, 집합으로서 이는 분리합집합이다. (그러나 은 일반적으로 존재하지 않는다.) 같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합  에 대하여, 만약 보편 성질에 의하여 존재하는 사상

 

이 fpqc 사상이라면,  fpqc 덮개라고 한다. fpqc 덮개들은   위의 그로텐디크 준위상을 이루며, 이로부터 유도되는 그로텐디크 위상fpqc 위상(영어: fpqc topology)이라고 한다.

fppf 위상편집

같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합  에 대하여, 보편 성질에 의하여 존재하는 사상

 

을 생각하자. 만약

 fppf 덮개라고 한다.[1]:Example 2.32 fppf 덮개들은   위의 그로텐디크 준위상을 이루며, 이로부터 유도되는 그로텐디크 위상fppf 위상(영어: fppf topology)이라고 한다.

성질편집

위상의 비교편집

모든 fppf 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서, fpqc 위상은 fppf 위상보다 더 섬세하다. 마찬가지로, fppf 위상은 에탈 위상보다 더 섬세하다. fpqc 위상에서 모든 표현 가능 준층을 이루므로, fpqc 위상은 표준 위상보다는 더 엉성하다.

fpqc 위상을 스킴의 범주 위에 흔히 사용되는 위상 가운데 가장 섬세한 것이며, fpqc 위상(및 그보다 더 엉성한 모든 위상)의 경우 준연접층에 대한 내림이 성립한다.[1]

집합론적 문제편집

fpqc 위상은 (더 엉성한 위상과 달리) 여러 집합론적 문제를 가진다. fppf 위상이나 에탈 위상 등의 경우, 주어진 스킴   위에, 다음 조건을 만족시키는 덮개들의 집합  이 존재한다.

  • 임의의  의 덮개에 대하여 그보다 더 섬세한 덮개  가 존재한다.

그러나 fpqc 위상의 경우 이 조건이 성립하지 않는다. 즉, 이러한 조건을 만족시키는 덮개들의 모임은 일반적으로 고유 모임이다. 이에 따라, fpqc 위상 위의 준층의 층화는 일반적으로 존재하지 않는다.[2]:605, Theorem 5.5

어원편집

"fpqc"라는 이름은 프랑스어: fidèlement plat et quasi-compact(충실하게 평탄하며 준콤팩트)라는 뜻이다. 여기서 "충실하게 평탄"하다는 것은 전사 함수이자 평탄 사상이라는 것이다. 이름과 달리, fpqc 위상은  준콤팩트 전사 평탄 사상인 덮개로서 정의할 수 없다.[1]:§2.3.2 이러한 사상들로 그로텐디크 위상을 정의할 수는 있지만, 이 위상은 준표준 위상이 아니다 (즉, 을 이루지 않는 표현 가능 준층이 존재한다).

"fppf"라는 이름은 프랑스어: fidèlement plat et de présentation finie(충실하게 평탄하며 유한 표시)라는 뜻이다. 이름과는 달리, 그 정의에서는 유한 표시 사상 대신 국소 유한 표시 사상을 사용한다.

참고 문헌편집

  1. Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). Bibcode:2004math.....12512V. arXiv:math/0412512. 
  2. Waterhouse, William C. (1975). “Basically bounded functors and flat sheaves”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 57 (2): 597–610. ISSN 0030-8730. MR 0396578. Zbl 0316.14008. doi:10.2140/pjm.1975.57.597. 

외부 링크편집