초등대수학 에서 완전제곱식 만들기 (영어 : completing the square )는 이차 다항식 을 일차 일계수 다항식 의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴
완전제곱식 만들기
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
로 나타내는 기법이다.[1] :101–102 이차 방정식 의 풀이에 사용된다.
임의의 복소수 계수 이차 다항식
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
,
b
,
c
∈
C
,
a
≠
0
)
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad (a,b,c\in \mathbb {C} ,\;a\neq 0)}
은 항상 다음과 같이 일차 일계수 다항식 의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다.
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
)
+
c
=
a
(
x
2
+
2
⋅
b
2
a
⋅
x
+
(
b
2
a
)
2
)
+
c
−
b
2
4
a
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=a\left(x^{2}+2\cdot {\frac {b}{2a}}\cdot x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}}
이러한 기법을 흔히 완전제곱식 만들기 라고 부른다.
다변수 다항식
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n
{\displaystyle n}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}}
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
⊤
A
x
+
b
⊤
x
+
c
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
+
∑
k
=
1
n
b
k
x
k
+
c
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}+c}
이 주어졌다고 하자. 여기서
x
=
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
,
b
=
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
{\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\;b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
은 복소수 열벡터 이며 (
b
i
∈
C
{\displaystyle b_{i}\in \mathbb {C} }
A
{\displaystyle A}
영행렬 이 아닌 복소수
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
대칭 행렬 이며 (
A
i
j
=
A
j
i
∈
C
{\displaystyle A_{ij}=A_{ji}\in \mathbb {C} }
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
A
i
j
2
≠
0
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}^{2}\neq 0}
⊤
{\displaystyle ^{\top }}
전치 행렬 이다. 만약 추가로
A
{\displaystyle A}
가역 행렬 이라면,
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}
x
′
=
x
+
(
1
/
2
)
A
−
1
b
{\displaystyle x'=x+(1/2)A^{-1}b}
동차 다항식 과 상수의 합으로 나타낼 수 있다.
f
(
x
)
=
x
⊤
A
x
+
b
⊤
x
+
c
=
x
⊤
A
x
+
1
2
x
⊤
b
+
1
2
b
⊤
x
+
1
4
b
⊤
A
−
1
b
+
c
−
1
4
b
⊤
A
−
1
b
=
x
⊤
A
(
x
+
1
2
A
−
1
b
)
+
1
2
b
⊤
(
x
+
1
2
A
−
1
b
)
+
c
−
1
4
b
⊤
A
−
1
b
=
(
x
⊤
+
1
2
b
⊤
A
−
1
)
A
(
x
+
1
2
A
−
1
b
)
+
c
−
1
4
b
⊤
A
−
1
b
=
(
x
+
1
2
A
−
1
b
)
⊤
A
(
x
+
1
2
A
−
1
b
)
+
c
−
1
4
b
⊤
A
−
1
b
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c\\&=x^{\top }Ax+{\frac {1}{2}}x^{\top }b+{\frac {1}{2}}b^{\top }x+{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=x^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+{\frac {1}{2}}b^{\top }\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x^{\top }+{\frac {1}{2}}b^{\top }A^{-1}\right)A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\end{aligned}}}
이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다.
구체적인 이차 함수의 예
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실수 이차 함수
f
(
x
)
=
x
2
−
2
x
−
3
{\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3}
을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다.
f
(
x
)
=
x
2
−
2
x
−
3
=
x
2
−
2
x
+
1
−
4
=
(
x
−
1
)
2
−
4
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-2x-3\\&=x^{2}-2x+1-4\\&=(x-1)^{2}-4\end{aligned}}}
이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다.
대칭축은 직선
x
=
1
{\displaystyle x=1}
최솟값 은
f
(
1
)
=
−
4
{\displaystyle f(1)=-4}
또한,
f
(
x
)
=
0
⟺
(
x
−
1
)
2
=
4
⟺
x
−
1
=
±
2
{\displaystyle f(x)=0\iff (x-1)^{2}=4\iff x-1=\pm 2}
이므로,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
일반적인 이차 함수
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더 일반적으로, 실수 이차 함수
f
(
x
)
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
(
a
,
h
,
k
∈
R
,
a
≠
0
)
{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\qquad (a,h,k\in \mathbb {R} ,\;a\neq 0)}
의 대칭축은 직선
x
=
h
{\displaystyle x=h}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
f
(
h
)
=
k
{\displaystyle f(h)=k}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
f
(
h
)
=
k
{\displaystyle f(h)=k}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
그래프 는
h
{\displaystyle h}
평행 이동 하며,
k
{\displaystyle k}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
k
<
0
{\displaystyle k<0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
이차 함수
f
(
x
)
=
(
x
−
h
)
2
{\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}}
의 그래프 (
h
=
0
,
5
,
10
,
15
{\displaystyle h=0,5,10,15}
)
이차 함수
f
(
x
)
=
x
2
+
k
{\displaystyle f(x)=x^{2}+k}
의 그래프 (
k
=
0
,
5
,
10
,
15
{\displaystyle k=0,5,10,15}
)
이차 함수
f
(
x
)
=
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}+k}
의 그래프 (
h
=
k
=
0
,
5
,
10
,
15
{\displaystyle h=k=0,5,10,15}
)
참고 문헌
편집
외부 링크
편집
이차 함수 의 그래프 ( )
이차 함수 의 그래프 ( )
이차 함수 의 그래프 ( )
