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에우클레이데스의 원론

(원론에서 넘어옴)
《에우클레이데스의 원론》의 첫 번째 영어판 표지.

유클리드의 원론》(그리스어: Στοιχεῖα, 스토이케이아)은 고대 그리스의 저명한 수학자에우클레이데스(유클리드)가 기원전 3세기에 집필한 으로 총 13권으로 구성되어 있다. 그리스어 제목 Στοιχεῖα는 ‘원소’, ‘구성 요소’, ‘글자’ 등을 뜻하는 단어이며, 기하학 원본이라는 제목으로도 불리며, 흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서’로 일컬어진다. 에우클레이데스는 이 책에서 10개밖에 되지 않는 공리들로부터 465개에 달하는 정리를 연역해냈다.

주요 내용편집

《원론》의 내용은 다음과 같다. 제 1권에서 제 4권까지는 2차원 기하학에 관한 내용을 담고 있다.

  • 제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다.[1] 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.
  • 제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.
  • 제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, , , 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.
  • 제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

제 5권부터 비율비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다룬다. 제 6권에서는 제 4권에 이어 이를 도형에 적용하고 제 10권까지 다시 수론을 다룬다.

  • 제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주된다.
  • 제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.
  • 제7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.
  • 제8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.
  • 제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.
  • 제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있다.

제 11권에서 제 13권까지는 3차원 기하학에 관한 내용들 담고 있다.


유클리드 원론 제2권 법칙4편집

 

 에서 임의의 한  에대해서  이고,[2]
 이므로,
 
 

따라서,

 
 
 일때,
 
 

이것은 대표적인 곱셈공식이다.

제1권 법칙47편집

 

 
 
 

유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않으므로서 순수하게 기하학적이다.[3]

 일때,
 

2권 법칙 12편집

 

유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 둔각삼각형  에서 의 임의의 한점  에대해서,[4]

 
 

그리고,

 
 

따라서,

 
 
 

그리고

 

 
 
 

따라서,

 
 
 

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

2권 법칙13편집

 

예각삼각형을 예약하고,[5] 이것을  에대해 나타내보면,

 
 
 
 
 

따라서,

 
 

이것은,코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

 

3권 법칙 3편집

 

과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,[6]

두 점 사이의 거리에서,
 이므로,
 
 
 
 
 
 

그리고 삼각함수 항등식피타고라스 정리에서,

 

따라서,

 
 

한편,

이것은,제2코사인법칙에서는,
 
 
 

그리고,

 

따라서,

 

이렇게 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수에 접근해볼수있다.

2권 법칙 9편집

 

정삼각형에서  을 예약하고,[7]
 
 
 
 
 
 
 
 

이것은 삼각함수의 덧셈정리중 사인함수이다.

한편,예약된 정삼각형에서,[8]
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 

이것은 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수이다.

2권 법칙 8편집

 

기하학에서, 두 점 사이의 거리좌표평면에서 임의의 두 점  을 예약하고,[9]

 에서  축에 평행하게 그은 직선과  에서  축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점  을 예약할 수 있다.
두 점   사이의 거리를  이라고 가정했을때,
  빗변으로 하는 직각삼각형이고,  이므로,
 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
 
 

따라서,

좌표평면에서 두 점  가 있을 때 두 점 사이의 거리  은 다음과 같다.
 

2권 법칙 5와 6편집

 

임의의 선분  을 예약하고,

 이등분하는  를 가정하면,[10]
 
 
 
 

이것은 대표적인 곱셈공식으로부터 유도되는 피타고라스 정리의 변형 이다.

피타고라스 정리의 변형편집

 
 
 
 
 
 
 
 

그리고,  이므로,

 이고,
 

피타고라스 정리 응용편집

 
 
 
 
 
 이고,
 

같이 보기편집

참고 자료편집

  1. 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 형식논리학의 토대에서 사실상 동의어로 사용하지만, 고대 그리스의 에우클레이데스는 그 두 단어를 채택하는 데 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 특수한 분야에 한정되는 것이라는 점에서 차이를 두었다고 여겨진다.
  2. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  3. (구텐베르크 프로젝트-기하학 원론 1권47,John Casey,퍼블릭 도메인)https://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=b505fb05308448caad895d905f0943ad1eb1f613 page53
  4. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  5. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  6. (유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)
  7. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  8. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  9. (유클리드 기하학원론 2권 법칙8) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)
  10. (유클리드 기하학원론 2권 법칙5및6) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)

외부 링크편집

  • Euclid's Elements (영어) (유클리드의 원론 1~13 권 속의 정의, 공준, 공리, 명제의 내용과 그에 대한 설명, 그리고 명제의 증명)