자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서, 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의편집

위상 공간   및 두 부분 공간  가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  •  

또한, 부분 공간  가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

  •   의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
  • 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 을 이룬다.
     

특히,   경로 연결 공간이며,  한원소 집합이며,  공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면  경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 이 존재한다.

 

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 에서,

 
 

를 생각하자. 또한

 

라고 놓자. 그렇다면,    의 밑점 집합  에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

 
 
 

따라서, 원의 기본은   의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상  이 존재하므로,    둘 다 무한 순환군  이다.    에서 서로 동형이다. 따라서  기본군무한 순환군이다.

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2차원 이상의 초구  에서, 세 개의 서로 다른 점  를 잡고,

 
 

로 놓자. 그렇다면    둘 다  차원 유클리드 공간  위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다.  는 기둥  위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

 

그런데    둘 다 자명군이므로,   역시 자명군이다.

역사편집

헤르베르트 자이페르트[1]:§3, 33–36[2]:199에흐베르튀스 판 캄펀[3]이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Seifert, H. (1931). “Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume”. 《Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) 83: 26–66. 
  2. Seifert, H. (1932). “Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume” (PDF). 《Acta Mathematica》 (독일어) 60: 147-238. doi:10.1007/BF02398271. 
  3. van Kampen, Egbert R. (1933). “On the connection between the fundamental groups of some related spaces”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 55: 261–267. JSTOR 51000091. 
  4. Brown, R. (1967). “Groupoids and Van Kampen’s theorem”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (third series)》 (영어) 17 (3): 385–401. doi:10.1112/plms/s3-17.3.385. 

외부 링크편집