점근 국소 유클리드 공간

미분기하학에서 점근 국소 유클리드 공간(漸近局所Euclid空間, 영어: asymptotically locally Euclidean space, ALE space)는 무한대에서 4차원 유클리드 공간의 오비폴드로 근사되는 4차원 초켈러 다양체이다.

정의

SU(2)의 유한 부분군 $\Gamma \leq \operatorname {SU} (2)$가 주어졌다고 하자. 이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.

4차원 초켈러 다양체 $M$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 점근 국소 유클리드 공간이라고 한다.^:§5

어떤 콤팩트 집합 $K\subseteq M$을 제외하면, $M\setminus K$는 $\mathbb {R} ^{4}\setminus \operatorname {ball} (0,R)$와 미분 동형이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다.

$|g_{ij}-\delta _{ij}|\in {\mathcal {O}}(r^{-4})$

$|\partial _{k_{1}k_{2}\dotso k_{p}}g_{ij}|\in {\mathcal {O}}(r^{-4-p})$

여기서 $r$는 $\mathbb {R} ^{4}$의 원소의 L² 노름이며, $R$는 충분히 큰 임의의 상수이다.

분류

SU(2)의 유한 부분군 $\Gamma \leq \operatorname {SU} (2)$가 주어졌다고 하자. (이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 아핀 대수다양체

$X=\mathbb {C} ^{2}/\Gamma$

의 최소 분해(영어: minimal resolution)

$\pi \colon {\tilde {X}}\to X$

를 생각하자. 즉, 그 예외 인자 $\pi ^{-1}(0)$는 사영 직선들의 합집합이며, 특히 그 2차 특이 호몰로지는 (예외 인자를 구성하는 사영 직선들로 생성되므로) 유한 생성 자유 아벨 군이다.

$\operatorname {H} _{2}({\tilde {X}};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{n}$

여기서 $n\in \mathbb {N}$은 $\pi ^{-1}(0)$을 구성하는 사영 직선의 수이다.

$\pi ^{-1}(0)=L_{1}\cup L_{2}\cup \dotsb \cup L_{n}$

또한, 이 사영 직선 $L_{i}$들의 교차 형식은 $\Gamma$의 매케이 화살집의 카르탕 행렬의 −1배와 같다.^:§5

이 경우, ${\tilde {X}}$의 2차 드람 코호몰로지류

$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in \operatorname {H} ^{2}({\tilde {X}};\mathbb {R} )$

가운데 다음 조건이 성립한다고 하자.

• 임의의 $L\in \operatorname {H} _{2}({\tilde {X}};\mathbb {Z} )$에 대하여, 만약 $L.L=-2$라면, $\textstyle \int _{L}\alpha _{i}\neq 0$인 $i\in \{1,2,3\}$가 존재한다.

그렇다면, 이 데이터를 사용하여 ${\tilde {X}}$ 위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$이다.

또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 $(\Gamma ,{\tilde {X}},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$의 데이터로 결정된다.

구성

기번스-호킹 구성

점근 국소 유클리드 공간 가운데, A형은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

$\tau \in \mathbb {R} /(4\pi \mathbb {Z} )$

${\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}$

를 정의하자. 그렇다면, A_n형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.

$\mathrm {d} s^{2}=V(|{\vec {r}}|)\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+{\frac {1}{V(|{\vec {r}}|)}}(\mathrm {d} \tau +\omega )^{2}$

$V(|{\vec {r}}|)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2|{\vec {r}}|}}$

여기서

$\omega ={\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})$

는 $\mathbb {R} ^{3}$ 위의 1차 미분 형식 가운데

$\mathrm {d} \omega =\star \mathrm {d} V$

인 것이다.

이 경우 $N=1$인 경우는 평탄 공간과 같으며,^:363 $N=2$인 경우는 에구치-핸슨 공간이다.^:363 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

초켈러 몫 구성

모든 종류의 점근 국소 유클리드 공간은 초켈러 몫으로 구성될 수 있다.

역사

이러한 공간들은 원래 일반 상대성 이론에서 중력의 ‘순간자’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 유클리드 공간 자체를 제외하면) 에구치-핸슨 공간이다. 이후 1989년에 피터 크론하이머가 이들을 모두 분류하였다.

응용

점근 국소 유클리드 공간은 초끈 이론에서 자주 등장한다.

외부 링크

• “ALE space”. 《nLab》 (영어).