기번스-호킹 가설 풀이

U(1) 대칭을 갖는 4차원 초켈러 다양체를 구성하는 방법

미분기하학에서, 기번스-호킹 가설 풀이(Gibbons-Hawking架設풀이, 영어: Gibbons–Hawking ansatz)는 U(1) 대칭을 가지는 4차원 초켈러 다양체를 작도하는 가설 풀이이다.

정의편집

4차원 초켈러 다양체가 한 킬링 벡터장을 가져, U(1) 등거리 대칭군을 갖는다고 하자. 그렇다면, 이는 어떤 3차원 공간 위의 U(1) 주다발로 여길 수 있다. 따라서, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 3차원 유클리드 공간열린집합  
  •   위의 U(1) 주다발  
  •   위의 U(1) 주접속  
    • 그렇다면, 그 주곡률은 어떤  에 대하여  의 꼴이다. 또한,   를 고르자.
  • 매끄러운 함수  

또한, 이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

 

그렇다면,  이므로  조화 함수이다.

그렇다면, 계량

 

  위의 초켈러 다양체 리만 계량을 정의한다. 이를 기번스-호킹 가설 풀이라고 한다. 구체적으로  가 되며, 여기서  는 U(1) 올다발의 올의 좌표로, 주기가  이다.

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기번스-호킹 가설 풀이를 통하여 에구치-핸슨 공간이나 기타 점근 국소 유클리드 공간을 구성할 수 있다. ADE 분류에서, A계 공간들은

 

의 꼴의 퍼텐셜로 구성된다.

마찬가지로, 토브-너트 공간 및 기타 점근 국소 평탄 공간(영어: asymptotically locally flat space) 역시 이과 같이 구성된다. 이 경우

 

와 같은 퍼텐셜을 사용한다.

역사편집

게리 기번스스티븐 호킹이 1978년에 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Gibbons, Gary W.; Hawking, Stephen W. (1978년 10월 9일). “Gravitational multi-instantons”. 《Physics Letters B》 (영어) 78 (4): 430–432. doi:10.1016/0370-2693(78)90478-1. 

외부 링크편집