추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, 영어: amalgamated free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 을 이룬다.

정의

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자유곱

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자유곱대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산  를 갖는 대수 구조 다양체   속의 두 대수 구조  자유곱  은 다음과 같다. 우선, 집합  로 생성되는 자유 대수  를 생각하자. 이제,  에서 성립하는 모든 대수적 관계

 

 에서 성립하는 모든 대수적 관계

 

들의 집합을

 

라고 하고,  를 포함하는 최소의 합동 관계

 

이라고 하자. 그렇다면

 

이다.

융합된 자유곱

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융합된 자유곱대수 구조 다양체에서의 이다. 구체적으로, 연산  를 갖는 대수 구조 다양체   속의 두 준동형

 
 

융합된 자유곱  는 다음과 같다. 자유곱   위에서,

 

를 만족하는 최소의 동치 관계

 

라고 하자. 그렇다면,  합동 관계이며,

 

이다.

군의 자유곱

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대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

 

및 3차 순환군

 

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

 

이 경우, 보통  로 정의한다.

무한 정이면체군

 

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

 

환의 자유곱

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환의 대수 구조 다양체에서, 환   의 자유곱은 비가환 다항식환

 

이다. 이는 텐서 대수  와 동형이다.

가환환의 자유곱

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가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환   의 자유곱은 다항식환

 

이다.

자유곱이 자명한 대수

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아벨 군 또는   위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합  이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가   꼴로 자명하기 때문이다.

같이 보기

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외부 링크

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