자유곱

추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다.

정의

자유곱은 대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다.

구체적으로, 연산 $\{f_{i}\}_{i\in I}$를 갖는 대수 구조 다양체 ${\mathcal {V}}$ 속의 두 대수 구조 $A,B\in {\mathcal {V}}$의 자유곱 $A*B$은 다음과 같다.

우선, 집합 $A\sqcup B$로 생성되는 자유 대수 $F(A\sqcup B)\in {\mathcal {V}}$를 생각하자. 이제, $A$에서 성립하는 모든 대수적 관계

$p(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=p'(a'_{1},p'_{2},\dots ,p'_{n'})$

와 $B$에서 성립하는 모든 대수적 관계

$q(b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=q'(b'_{1},b'_{2},\dots ,b'_{k'})$

들의 집합을

${\mathcal {I}}\subseteq F(A\sqcup B)^{2}$

라고 하고, ${\mathcal {I}}$를 포함하는 최소의 합동 관계를

${\sim }\subseteq F(A\sqcup B)^{2}$

이라고 하자. 그렇다면

$A*B=F(A\sqcup B)/{\sim }\in {\mathcal {V}}$

이다.

예

군의 자유곱

군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

$\operatorname {Cyc} (2)=\langle S|S^{2}=1\rangle$

및 3차 순환군

$\operatorname {Cyc} (3)=\langle U|U^{3}=1\rangle$

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

$\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (3)=\langle S,U|S^{2}=U^{3}=1\rangle$

이 경우, 보통 $S^{-1}U=T$로 정의한다.

무한 정이면체군

$\operatorname {Dih} (\infty )=\langle r,s\mid s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle$

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

$\operatorname {Dih} (\infty )=\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (2)$

환의 자유곱

환의 대수 구조 다양체에서, 환 $\mathbb {Z} [x]$와 $\mathbb {Z} [y]$의 자유곱은 비가환 다항식환

$\mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle$

이다. 이는 텐서 대수 $T(\mathbb {Z} ^{2})$와 동형이다.

가환환의 자유곱

가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 $\mathbb {Z} [x]$와 $\mathbb {Z} [y]$의 자유곱은 다항식환

$\mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]$

이다.

자유곱이 자명한 대수

아벨 군 또는 환 $R$ 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 $\sqcup$이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 $s=s$ 꼴로 자명하기 때문이다.

외부 링크

• “Free product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free product of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free product of groups”. 《nLab》 (영어).