자유곱은 대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다.
구체적으로, 연산 를 갖는 대수 구조 다양체 속의
두 대수 구조 의 자유곱 은 다음과 같다.
우선, 집합 로 생성되는 자유 대수 를 생각하자. 이제, 에서 성립하는 모든 대수적 관계
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와 에서 성립하는 모든 대수적 관계
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들의 집합을
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라고 하고, 를 포함하는 최소의 합동 관계를
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이라고 하자. 그렇다면
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이다.
군의 자유곱편집
군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군
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및 3차 순환군
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을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.
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이 경우, 보통 로 정의한다.
무한 정이면체군
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은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.
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환의 자유곱편집
환의 대수 구조 다양체에서, 환 와 의 자유곱은 비가환 다항식환
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이다. 이는 텐서 대수 와 동형이다.
가환환의 자유곱편집
가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.
가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 와 의 자유곱은 다항식환
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이다.
자유곱이 자명한 대수편집
아벨 군 또는 환 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.
집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 꼴로 자명하기 때문이다.
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