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추상대수학에서, 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체범주에서의 쌍대곱이다.

정의편집

자유곱대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다.

구체적으로, 연산  를 갖는 대수 구조 다양체   속의 두 대수 구조  자유곱  은 다음과 같다.

우선, 집합  로 생성되는 자유 대수  를 생각하자. 이제,  에서 성립하는 모든 대수적 관계

 

 에서 성립하는 모든 대수적 관계

 

들의 집합을

 

라고 하고,  를 포함하는 최소의 합동 관계

 

이라고 하자. 그렇다면

 

이다.

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군의 자유곱편집

대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

 

및 3차 순환군

 

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

 

이 경우, 보통  로 정의한다.

무한 정이면체군

 

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

 

환의 자유곱편집

환의 대수 구조 다양체에서, 환   의 자유곱은 비가환 다항식환

 

이다. 이는 텐서 대수  와 동형이다.

가환환의 자유곱편집

가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환   의 자유곱은 다항식환

 

이다.

자유곱이 자명한 대수편집

아벨 군 또는   위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합  이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가   꼴로 자명하기 때문이다.

외부 링크편집