준반사
선형대수학과 군론에서 준반사(準反射, 영어: pseudoreflection 슈도리플렉션[*])는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 체에 대하여 일반화한 것이다.
정의
편집체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 준반사는 다음과 같은 자기 선형 변환 이다.
여기서 이 되는 최소의 양의 정수 는 의 차수(영어: order)라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다).
성질
편집차수
편집체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 준반사 의 차수 에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.
- 이며, 이다.
- 이다.
즉, 특히 실수체 일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.
반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.
고윳값
편집체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 준반사 의 차수가 이라고 하자. 만약 가 대각화될 수 있다면, 는 다음과 같이 표현된다.
여기서 는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약 가 대각화될 수 없다면, 는 다음과 같이 표현된다.
대각화될 수 없는 준반사를 이환(移環, 영어: transvection)이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.
만약 이라면, 는 항상 대각화될 수 있다.
준반사로 생성되는 군
편집임의의 체 위의 유한 차원 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군
이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.
또한, 다음을 가정하자.
- 이거나, 또는
슈발레-셰퍼드-토드 정리(Chevalley-Shepard-Todd定理, 영어: Chevalley–Shepard–Todd theorem)에 따르면, 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 이 존재한다.
- 는 위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다.
- 의 모든 소 아이디얼에서의 국소화는 정칙 국소환이다.
- 는 위의 자유 가군이다.
- 는 위의 사영 가군이다.
이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군을 -준반사군(準反射群, 영어: pseudoreflection group)이라고 한다.
두 -준반사군의 직접곱은 역시 -준반사군이다.
증명:
두 -준반사군
이 주어졌을 때, 자연스럽게
이다.
역사
편집슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드(영어: Geoffrey Colin Shephard)와 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며,[1] 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다.[2]
각주
편집- ↑ Shephard, Geoffrey Colin; Todd, John Arthur (1954). “Finite unitary reflection groups”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 6: 274–304. doi:10.4153/CJM-1954-028-3. ISSN 0008-414X. MR 0059914.
- ↑ Chevalley, Claude (1955년 10월). “Invariants of finite groups generated by reflections”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 77 (4): 778–782. doi:10.2307/2372597. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372597.
- “Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 34: 211–250. 1997. doi:10.1090/S0273-0979-97-00724-6. MR 1433171.
외부 링크
편집- “Reflection group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.